Viele Polyeder kann man sich besonders einfach vor Augen führen, in dem man sie aus kleineren zusammensetzt und dabei Oberflächen-Teile einspart. Aus einem Würfel (6 Quadrate) und einer 4-Pyramide (4 Dreiecke, 1 Quadrat) kann man ein Haus mit Dach bauen, das nur noch 5 Quadrate und 4 Dreiecke hat. Einige der acht gesuchten konvexen Deltaeder kann man sich auch so erzeugt denken. Man muss aber dabei aufpassen, dass keine Dreiecke zu Rauten verschmelzen und dass die Polyeder überhaupt konvex werden. Wenn man zum Beispiel auf alle 6 Quadrate des Würfels gleiche Pyramiden setzt, so hängt es von deren Höhen ab, ob der entstehende Stern konvex wird oder nicht. Als Grenzfall zwischen beiden tritt das Rhombendodekaeder auf, das zwar konvex ist, aber von (12) Rauten statt von (24) Dreiecken begrenzt wird. Sind die Dreiecke gleichseitig, so ist der Stern nicht konvex.

Drei der gesuchten Deltaeder sind reguläre (platonische) Polyeder, drei sind Doppelpyramiden, eines gehört beiden dieser Klassen zugleich an. Zwei weitere (aus 14 bzw. 16 Dreiecken) kann man (ebenfalls) durch Anbauen von Pyramiden an andere Polyeder erzeugen. Das letzte Deltaeder besteht aus 12 gleichseitigen Dreiecken; man bekommt es vielleicht am ehesten, wenn man aus je 6 Dreiecken zwei offene Schiffchen baut und die dann zusammenfügt.

Reguläre Polyeder, die Deltaeder sind

Diese sind das Tetraeder (aus 4 Dreiecken), das Oktaeder (identisch mit der 4-zähligen Doppelpyramide, aus 8 Dreiecken) und das Ikosaeder (aus 20 Dreiecken).

Sie haben wie alle (5) regulären ("platonischen") Polyeder jeweils eine Umkugel, eine Inkugel und eine Kantenberührkugel. Die anderen beiden regulären Polyeder sind der Würfel (Hexaeder) und das (Pentagon-)Dodekaeder, sie sind dual zum Oktaeder bzw. zum Ikosaeder, das Tetreader ist zu sich selbst (der Lage nach: zu seinem Spiegelbild) dual.

Doppelpyramiden als Deltaeder

Es gibt zwar (abzählbar) unendlich viele Doppelpyramiden aus 2n Dreiecken, aber nur für n = 3, 4 und 5 können diese Dreiecke allesamt gleichseitig sein. Für n = 4 finden wir das Oktaeder, also ein reguläres Polyeder, und es ist zugleich ein Antiprisma, nämlich das 3-zählige.

Die beiden (neben dem Oktaeder einzigen) gleichseitigen Doppelpyramiden gehören zu den Johnson-Polyedern und haben die Nummern J12 und J13.

Man erhält es in Gedanken am einfachsten, wenn man auf die drei Quadrate eines 3-zähligen Prismas 4-zählige Pyramiden setzt. Die Längskanten des Prismas bleiben dabei Kanten, allerdings ziemlich stumpfe, das Ganze ist also nur wenig davon entfernt, Rauten zu haben oder gar nicht mehr konvex zu sein (wenn nämlich die Pyramidenspitzen etwas weiter außen wären, als es bei den hier geforderten gleichseitigen Dreiecken der Fall ist).

Dieses Deltaeder gehört zu den Johnson-Polyedern und hat die Nummer J51.

Wenn man sich auf die Grund- und die Deckfläche eines 4-zähligen Antiprismas je eine 4-zählige Pyramide gesetzt denkt, erhält man dieses Gebilde. Es gehört zu den Johnson-Polyedern und hat die Nummer J17.

Über den ästhetischen Reiz dieses Polyeders streiten sich die Geister: Ein Kollege fand es einfach nur hässlich. Ich finde dagegen die bescheidene Symmetrie eines Körpers aus so wenigen gleichseitigen Dreiecken bemerkenswert. Insbesondere kann man ihn als einziges der 8 konvexen Deltaeder nicht aus einfachen Teilen hoher Symmetrie zusammenbauen. Es hat daher im Verzeichnis der Johnson-Polyeder die (hohe) Nummer J84. Um am Telefon zu erklären, wie man das Dodeka-Deltaeder anfertigen soll, schlage ich eine Beschreibung der beiden im Tipp erwähnten Schiffchen vor. Das eine schwimmt mit dem Kiel zuunterst im (gedachten) Wasser, das andere stellen Sie auf den Kopf und setzen es um 90 Grad verdreht auf das erste Schiffchen auf.

Zwei andere Möglichkeiten, das Dodeka-Deltaeder am Telefon zu erklären:

1. Man geht von der 5-zähligen Doppelpyramide aus und öffnet sie entlang von zwei einander benachbarten Kanten auf ihrem Äquator. Das sieht dann aus wie ein Kofferfisch mit großem Maul. Dieses schließt man mit zwei neuen Dreiecken und einer neuen Kante zwischen zwei Ecken, die jetzt sozusagen anstelle von einer alten Ecke da sind. Diesen Vorschlag verdanke ich Herrn Dr. H. Litschke aus Duisburg.

Übrigens kann man zwei dieser Kofferfische zu innigem Kuss (mit weit geöffneten, gegeneinander verdrehten Mäulern) vereinen. Das führt auf die beweglichen Skulpturen ("Korpuskel") von Eva Wohlleben.

2. Man verformt ein 4-zähliges Antiprisma unter Beibehaltung aller Kantenlängen so, dass aus beiden Quadraten je zwei Dreiecke mit einer neuen Kante zwischen sich werden.

Man kann also nicht nur aus regelmäßigen Fünfecken und aus gleichen Rauten Dodekaeder bauen (nämlich das gewöhnliche oder Pentagon-Dodekaeder und das Rhombendodekaeder), sondern auch aus gleichseitigen Dreiecken. Sie haben verschieden viele Ecken: das (platonische) Pentagon-Dodekaeder natürlich mit 20 die meisten, das Rhombendodekaeder 14 und das Dodekadeltaeder nur 8.

Es gibt also konvexe Deltaeder mit den Flächenzahlen von 4 bis 20 in Zweierschritten außer der 18. Die zugehörigen Eckenzahlen gehen von 5 bis 12 in Einerschritten (ohne 11), die Kantenzahlen von 9 bis 30 in Dreierschritten (ohne 27).

Dass das Tetraeder das kleinste und das Ikosaeder das größte konvexe Deltaeder ist, ist klar, ebenso dass die Zahl der Flächen stets gerade sein muss (überhaupt muss in jedem Polyeder die Zahl der ungeradzahligen Polygone gerade sein).

Es gibt Molekül-Ionen der Formeln B_nH_n^2- mit n von 6 bis 12 (vgl. Holleman-Wiberg, Anorganische Chemie). Die Bor-Atome darin nehmen offenbar die Ecken der Deltaeder ein, allerdings nicht die kleinsten mit den spitzen Ecken, aber zusätzlich zu den (verbleibenden 6) konvexen (die Inhalt der Aufgabe waren) auch das konkave mit 11 Ecken und 18 Dreiecken.

Hier die Tabelle der konvexen Deltaeder mit gleichen Kantenlängen, die Indizes an den Eckenzahlen zeigen an, wie viele Kanten sich dort jeweils treffen;

Das nicht konvexe Deltaeder mit 11 Ecken kann man sich aus dem mit 10 Ecken durch Anbau einer 3-zähligen Pyramide vorstellen, wobei aber dessen Konvexität verloren geht. Geht man vom Ikosaeder aus, so kann man aus einer 5-zähligen Pyramide die Spitze nehmen und das verbleibende Fünfeck in 3 Dreiecke teilen. Dabei verschwinden außer der einen Ecke 3 Kanten und 2 Flächen, aber es geht nicht ohne Verzerrungen ab.