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Menelaos

Treitz-Rätsel

Zeigen Sie: Liegen \(X\), \(Y\) und \(Z\) auf je einer Seite eines Dreiecks \(ABC\) oder ihrer Verlängerung, und zwar \(X\) auf \(BC\), \(Y\) auf \(AC\) und \(Z\) auf \(AB\), so liegen sie genau dann auf einer Geraden, wenn \( { \overline {XB} \over \overline {XC}} \cdot{ \overline {YC} \over \overline {YA}} \cdot{ \overline {ZA} \over \overline {ZB}} =1\) ist.

Zeichnen Sie die Lote von \(A\), \(B\) und \(C\) auf die grüne Gerade.

Wenden Sie den (zweiten) Strahlensatz auf die getönten Flächen an und setzen Sie ein.

Von den drei Punkten \(X\), \(Y\) und \(Z\) muss (wenn der Satz zutrifft) mindestens einer auf einer Seiten-Verlängerung liegen, es dürfen aber auch alle drei sein (warum geht 2 nicht?).

Vor etwa 2000 Jahren schrieb Menelaos von Alexandria (um 45 – um 110) ein Buch über Kugelgeometrie und erwähnte darin zu einem Satz die in unserer Aufgabe behandelte einfachere Entsprechung in der ebenen Geometrie, von der anderswo nichts überliefert ist. So ist dieser Satz nun nach Menelaos benannt, weil die älteste uns bekannte Erwähnung auf ihn zurückgeht.

Bemerkenswerterweise ist der mindestens eben so einfache (und ihm verwandte) Satz von Giovanni Ceva erst 18 Jahrhunderte später (1678) gefunden worden. Es liegt wohl an der relativ weit gehenden Voraussetzungslosigkeit der Elementargeometrie, insbesondere hinsichtlich technischer Hilfsmittel, dass Jahrtausende in ihrer Geschichte so wenig ausmachen.

  • Quellen
Coxeter/Greitzer

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