Betrachten Sie Kreisbögen mit den Ecken des Dreiecks als Mittelpunkten und dem halben Umfang des Dreiecks als Radius.

Die Berührpunkte der Ankreise mit den Verlängerungen der Seiten haben von den jeweils nicht anliegenden Ecken als Abstand den halben Umfang \(s = (a + b + c)/2\) des Dreiecks; denn die Tangentenabschnitte von einem Punkt zu je einem Kreis müssen einander gleich sein, ihre Summen sind aber offenbar der ganze Umfang.

Nun betrachten wir die Tangentenabschnitte von je einer Ecke zu je einem Ankreis, auch sie sind paarweise gleich. Damit finden wir die Aufteilung der Seiten in die angeschriebenen Teile \(s-a\) usw. Im Satz von Ceva kürzen sich diese alle weg. Also haben die Verbindungslinien von den Ecken zu den Ankreisberührpunkten (der Seiten selbst, nicht ihrer Verlängerungen) einen gemeinsamen Schnittpunkt. Er ist nach Christian Heinrich von Nagel (1803–1882) benannt.

Die Behauptung des Satzes von Nagel ist also eine ziemlich einfache Konsequenz der Umkehrung des Satzes von Ceva.

Der Nagel-Punkt gehört zu den bemerkenswertesten "Mittelpunkten", die ein Dreieck hat. Vergrößert man das Dreieck durch Streckung im Maßstab –2 (das heißt Verdopplung aller Längen mit Punktspiegelung) vom Schwerpunkt (der Ecken bzw. seiner Fläche) aus, so hat das dadurch entstandene größere Dreieck den Nagel-Punkt als Inkreismittelpunkt, oder andersherum gesehen: Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Nagel-Punkt seines Seitenmitten-Dreiecks. Wenn man Geraden durch je eine Ecke und je einen Berührpunkte des Inkreises oder eines Ankreises legt, so gibt es (außer den Ecken) insgesamt 8 Punkte, in denen sich je drei solche Geraden treffen:

Nach Peter Baptist werden die hier grün markierten Punkte als (innere und äußere) Nagel-Punkte und die violetten als (innerer und äußere) Gergonne-Punkte bezeichnet.