Hemmes mathematische Rätsel: Pandigitale römische Daten
Diese Aufgabe habe ich mir im Jahr 2012 ausgedacht. Schreibt man das Datum 5. 11. 1955 mit römischen Zahlenzeichen, hat es die Form V. XI. MCMLV. In diesem Datum tauchen die beiden Zeichen V und M jeweils zweimal und das Zeichen D gar nicht auf. Gibt es auch korrekt geschriebene Datumsangaben, in denen alle sieben römischen Zahlenzeichen I, V, X, L, C, D und M genau einmal vorkommen? Wenn ja, wie viele sind es insgesamt?
Es muss dabei die normale Subtraktionsregel benutzt werden. In einer römischen Zahl werden die Ziffern von links nach rechts nach absteigenden Werten geordnet. Das heißt, normalerweise steht links von einer Ziffer keine kleinere Ziffer. Die Subtraktionsregel in ihrer Normalform besagt, dass die Ziffern I, X und C einem ihrer nächst oder übernächst größeren Zahlzeichen vorangestellt werden dürfen und dann ihre Zahlwerte von deren Wert abzuziehen sind. So ist beispielsweise XC = 100 − 10 = 90.
Die kleinste Zahl, die ein L, C, D oder M enthält, ist XL = 40. Darum können diese Zeichen in der Tages- oder Monatszahl eines Datums nicht vorkommen. Folglich müssen die Tages- und die Monatszahl entweder aus den drei Zeichen I, V und X oder aus zwei dieser drei Zeichen gebildet werden. Betrachten wir zunächst einmal nur den ersten Fall. Dann gibt es für Tag und Monat die neun Möglichkeiten XV. I., IX. V., XI. V., IV. X., VI. X., V. IX., IV. X., VI. X. und V. XI. Mit den übrigen vier Zeichen L, C, D und M lassen sich zwei verschiedene Jahreszahlen schreiben: MCDL und MDCL. Somit gibt es insgesamt 9 · 2 = 18 Möglichkeiten für ein pandigitales Datum mit einer Jahreszahl aus vier Zeichen.
Wird das I zur Jahreszahl geschlagen, kann man die beiden Tages-Monats-Zahlen V. X. und X. V. und die beiden Jahreszahlen MCDLI und MDCLI bilden. Dies ergibt also vier verschiedene Daten. Nimmt man das V zur Jahreszahl bekommt man die Tages-Monats-Zahlen I. X. und X. I. und die Jahreszahlen MCDLV und MDCLV. Auch dies führt zu vier verschiedene Daten. Wird schließlich das X zur Jahreszahl genommen, erhält man die beiden Tages-Monats-Zahlen I. V. und V. I. und die vier Jahreszahlen MCDXL, MCDLX, MDCXL und MDCLX, woraus acht verschiedene Daten gebildet werden können.
Insgesamt gibt es also 34 pandigitale Daten mit römischen Zahlenzeichen.
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