Hemmes mathematische Rätsel: Pythagoreische Dreiecke
Bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt zwischen den beiden Katheten a und b und der Hypotenuse c der Zusammenhang a2 + b2 = c2. Dieser Satz ist nach dem griechischen Philosophen Pythagoras benannt, der von etwa 570 bis 510 v. Chr. auf Samos und in Süditalien lebte und ihn entdeckt haben soll. Der Satz war aber schon Jahrhunderte vorher den babylonischen Mathematikern bekannt. Es ist sogar äußerst umstritten, ob sich Pythagoras überhaupt mit Mathematik befasst hat. Auch die Entdeckungen in der Physik und der Musiktheorie, die ihm zugeschrieben werden, stammen vermutlich nicht von ihm. Da die ältesten bekannten Schriften über Pythagoras aber erst über 500 Jahre nach seinem Tod verfasst wurden, wird sich dies wohl niemals klären lassen.
Sind die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ganzzahlig, so bezeichnet man die Zahlen a, b und c als pythagoreisches Tripel und das Dreieck als pythagoreisches Dreieck. Das einfachste pythagoreische Tripel sind die drei Zahlen 3, 4 und 5, denn es gilt 32 + 42 = 52.
Welches pythagoreische Dreieck, das sich durch eine gerade Linie in zwei pythagoreische Dreiecke unterteilen lässt, hat den kleinsten Flächeninhalt?
Nur die Höhe über der Hypotenuse teilt ein rechtwinkliges Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke auf. Da alle drei Dreiecke die gleichen Winkel haben, sind sie ähnlich, das heißt, sie haben alle die gleiche oder die spiegelverkehrte Form und unterscheiden sich nur in ihrer Größe.
Wenn man dies einmal weiß, kann man die Lösung leicht rückwärts aufbauen. Man nimmt ein beliebiges pythagoreisches Dreieck und macht davon zwei Vergrößerungen derart, dass die kurze Kathete der einen Vergrößerung gerade so lang ist wie die lange Kathete der anderen Vergrößerung.
Das ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Katheten des Ausgangsdreiecks. Fügt man nun die beiden Vergrößerungen mit den gleich langen Katheten aneinander, ist die neue Figur natürlich auch wieder ein pythagoreisches Dreieck.
Bei dem kleinsten pythagoreischen Dreieck (3, 4, 5) ist das kgV(3, 4) = 12. Das Dreieck muss also einmal um den Faktor 3 und einmal um den Faktor 4 vergrößert werden. Das äußere Dreieck bekommt dadurch die Abmessungen (15, 20, 25) und hat einen Flächeninhalt von 150.
Aus keinem anderen pythagoreischen Dreieck lässt sich ein kleineres Außendreieck bilden. Somit ist dies die gesuchte Lösung.
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