Zentrische Streckung bzw. Ähnlichkeitszentren.

Geht man in Gedanken von einem Schnittpunkt eines Tangentenpaares aus, so kann man ihn als Zentrum einer zentrischen Streckung für die beiden beteiligten Kreise auffassen, aber auch für viele andere.

Auf diese Weise findet man, dass die Radien der Kreise proportional zu den Abständen der Kreismittelpunkte von der Gerade durch die Tangentenschnittpunkte sind. (Der ausführliche Beweis läuft über Radien und die Abstände der Mittelpunkte von der fraglichen Gerade (zunächst aus zwei Schnittpunkten) mit Strahlensatzfiguren.)

Noch einleuchtender wird die Sache, wenn man sich die Kreise als Schnitte von Kugeln vorstellt, die zwei Ebenen berühren, deren Schnittlinie die fragliche Gerade ist. Das ist ein Beispiel für die Möglichkeit, dass die Erweiterung in die 3. Dimension die Sache nicht verwickelter, sondern übersichtlicher macht.

Der hier diskutierte Satz ist eine Teilaussage des Satzes von Monge. Dazu sei zunächst festgestellt: Zwei verschieden große Kreise können stets von zwei Zentren durch zentrische Streckung aufeinander abgebildet werden; diese Zentren heißen Ähnlichkeitspunkte. Einer von ihnen liegt zwischen den Mittelpunkten, der andere "hinter" der Mitte des kleineren. Wenn die beiden Kreise nicht ineinander liegen, findet man den äußeren Ähnlichkeitspunkt als Schnitt (rot im Bild unten) der beiden gemeinsamen Tangenten. Liegen die Kreisflächen punktfremd zueinander, gibt es ein zweites Tangentenpaar durch den inneren Ähnlichkeitspunkt (grün). Wenn \(P(A,B)\) der äußere Ähnlichkeitspunkt der Kreise \(A\) und \(B\) ist, \(Q(A,B)\) dagegen der innere von ihnen, so gilt nach Gaspard Monge für 3 verschieden große Kreise: \(P(A,B)\), \(P(B,C)\) und \(P(C,A)\) liegen auf einer Geraden (das ist unsere Teilaussage), aber auch \(P(A,B)\), \(Q(B,C)\) und \(Q(C,A)\) liegen auf einer (anderen) Geraden, und so weiter. Allgemein liegen je zwei innere Ähnlichkeitspunkte und der zyklisch dazu gehörende äußere auf einer Geraden (grün gestrichelt), ebenso die drei äußeren (blau durchgezogen).

Zum Beweis wendet man auf das Dreieck mit den Kreiszentren als Ecken den Satz von Menelaos an.

Dabei müssen sich die drei Kreise nicht einmal meiden, sondern dürfen sich auch beliebig schneiden oder umschließen: Es geht nur um die Ähnlichkeitszentren; ob es dazu Tangenten gibt, ist dann nicht entscheidend.