Hemmes mathematische Rätsel: Schafe und Lämmer
Im frühen 14. Jahrhundert wurde von einem unbekannten Autor im byzantinischen Reich ein Buch geschrieben mit 119 mathematischen Problemen, von denen viele aus der Unterhaltungsmathematik stammen. Von dem Buch sind zwei Abschriften erhalten geblieben, von denen sich die eine in Paris und die andere im Escorial in der Nähe Madrids befindet. Der Autor des Buches war mit Sicherheit nicht der Erfinder der Aufgaben, denn viele davon waren schon vorher in anderen Büchern veröffentlicht worden. Außerdem scheint er ein schlechter Mathematiker gewesen zu sein, der kritiklos fehlerhafte und unvollständige Lösungen aus seinen Vorlagen abgeschrieben hat und stattdessen die Texte mit Geschwätz angereichert hat. Bei der 40. Aufgabe des Buches geht es um die gerechte Teilung eines Erbes.
Ein Mann hat drei Söhne, und als er starb, bestimmte er, dass diese seine Habe gleichmäßig teilen sollten. Sie bestand aber aus 300 Mutterschafen. Die einen 100 Schafe hatten je drei Lämmer, die anderen 100 je zwei und die restlichen je ein Lamm, so dass es zusammen 900 Tiere waren. Die Söhne sollten sie so teilen, dass kein Mutterschaf von dem eigenen Lamm getrennt würde, und dass jeder Sohn 100 Schafe und 200 Lämmer bekäme.
Es gibt eine ganze Reihe von Lösungen. Finden Sie wenigsten eine.
Einer der Söhne bekommt A1 Mutterschafe mit je drei Lämmern, B1 Schafe mit je zwei Lämmern und C1 Schafe mit je einem Lamm. Da er 100 Schafe und 200 Lämmer bekommt, gelten A1 + B1 + C1 = 100 und 3A1 + 2B1 + C1 = 200. Löst man die zweite Gleichung nach C1 auf und setzt sie in die erste ein, erhält man nach einigen Umformungen A1 = 50 − B1/2. Daraus ergibt sich mit Hilfe der ersten Gleichung, dass C1 = A1 sein muss. Somit kann B1 kann jede gerade Zahl von 0 bis 100 sein, woraus sich dann sofort A1 und C1 berechnen lassen.
Für die Schafzahlen der beiden anderen Söhne gilt entsprechend A2 = C2 = 50 − B2/2 und A3 = C3 = 50 − B3/2. Wenn man nun noch beachtet, dass B1 + B2 + B3 = 100 sein muss, kann man leicht durch eine systematische Untersuchung alle 1326 verschiedenen Lösungen zu finden. Eine davon ist (0; 100; 0), (50; 0; 50) und (50; 0; 50), wobei in den Klammer jeweils die Werte für A, B und C für die drei Söhne stehen.
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