Suchen Sie ein zweites gleichseitiges Dreieck, und denken Sie an den Umfangswinkelsatz.

Die beiden gelben Dreiecke sind kongrent, denn das eine ist gegenüber dem anderen um 60^o um die untere Ecke gedreht. Der Umfangswinkelsatz sagt, dass zwei Winkel, die von zwei Punkten eines Kreises auf die beiden Endpunkte einer Sehne blicken, sich zu 180^o ergänzen. Damit ist klar, dass das rot berandete Dreieck ebenfalls gleichseitig ist.

Ein anderer Beweis geht sogar noch einfacher. Man nutzt den Satz des Ptolemäus: In einem Sehnenviereck \(ABCD\) gilt \( |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD| \) ("Das Produkt der Längen der Diagonalen ist gleich der Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten"). Diesen Satz wendet man auf das Sehnenviereck aus den drei Ecken des Dreiecks und dem zusätzlichen Punkt auf dem Umfang an.

Nachdem wir dieses an sich schon erstaunliche Ergebnis geklärt haben, wagen wir uns an eine noch stärkere Behauptung:

Verbindet man einen Punkt auf dem Umkreis eines regelmäßigen 3n-Ecks mit allen 3n Ecken, so sind die n längsten dieser Strecken zusammen so lang wie die anderen 2n Strecken zusammen.

Beweis:

Als Beispiel ist hier das 15-Eck gezeichnet. Was hier für n = 5 gesagt wird, gilt ebenso für alle anderen natürlichen Zahlen, natürlich mit dann etwas anderen Indices.

Unsere bisherige Weisheit gilt zum Beispiel für das gleichseitige Dreieck \(E_3E_8E_{13}\), für das die Strecken \(P_0E_3\) und \(P_0E_{13}\) zu den 10 kürzeren und \(P_0E_8\) zu den 5 längeren Stücken gehören. Wo genau die Grenze zwischen kürzer und länger liegt, kann man an den gestrichelten schwarzen Linien ablesen.

Wer hätte gedacht, dass das so einfach ist?