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Tetraeder mit Kantenkugel

Tetraeder mit Kantenkugel

Ein – nicht notwendigerweise reguläres – Tetraeder kann eine Kugel haben, die von allen seinen 6 Kanten berührt wird. Zeigen Sie bitte, dass die Berührpunkte der Kugel mit den Kanten zugleich die Inkreisberührpunkte der vier dreieckigen Flächen sind.

Wie lang sind Tangentenabschnitte (jeweils bis zu den Berührpunkten)?

Das Bild zeigt die in eine gemeinsame Ebene geklappten Flächen eines Tetraeders, das eine Kantenberührkugel hat:

Die von einer Ecke ausgehenden Tangentenabschnitte sind alle gleich lang. Zwei einander gegenüberliegende Kanten enthalten zusammen jede dieser vier Längen genau einmal.

Die Berührpunkte der Kanten mit der Kugel sind wegen der gleichen Abschnitte auch zugleich die Berührpunkte der Inkreise der einzelnen Dreiecke. Diese vier Inkreise berühren sich also paarweise in den 6 Berührpunkten mit der Kugel, und sie sind die Schnittlinien der Kantenberührkugel mit den Flächen des Tetraeders.

Diese ziemlich offenkundigen Sätze sind auch umkehrbar, vgl. Altshiller Court, Modern Pure Solid Geometry, §786 ff.

Vergessen Sie aber nicht, dass nicht jedes Tetraeder eine Kantenberührkugel hat, wohl aber stets eine Inkugel, eine Umkugel und 4 bis 7 Ankugeln.

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