Vollkommene Zahlen
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Eine natürliche Zahl wird vollkommen (oder perfekt) genannt, wenn sie halb genau so groß ist wie die Summe ihrer Teiler (oder so groß wie die Summe ihrer "echten" Teiler, womit dann alle außer der Zahl selbst, aber ebenfalls mitsamt der 1 gemeint sind).
Die einfachsten vollkommenen Zahlen sind 6 = 1 + 2 + 3 und 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Euklid fand ein erstaunlich einfaches Rezept zum Auffinden vollkommener Zahlen: Sind n und 2n–1 prim, so ist 2n–1·(2n – 1) vollkommen. Zeigen Sie das bitte, evtl. mit einem grafischen Beweis (mit Flächen als Darstellungen von Produkten). Stellen Sie das Produkt zweier Zahlen als Rechteck dar.
Man kann sogar zeigen, dass alle geraden vollkommenen Zahlen in dieser Form darstellbar sind. Ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist nicht bekannt.
Hier noch eine etwas weiter gehende Tabelle vollkommener Zahlen und zugehöriger Mersenne-Primzahlen:
n | (2n–1)(2n–1) | 2n-1 |
2 | 6 | 3 |
3 | 28 | 7 |
5 | 496 | 31 |
7 | 8128 | 127 |
13 | 33550336 | 8191 |
17 | 8589869056 | 131071 |
19 | 137438691328 | 524287 |
31 | 2305843008139952128 | 2147483647 |
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