Hemmes mathematische Rätsel: Von I bis C
Die Zahlen von 1 bis 100 bestehen aus insgesamt 192 Ziffern. Wie kann man diese 192 Ziffern anordnen, dass sie möglichst wenige Zahlen bilden? Das Problem ist lächerlich einfach: Man kann die Ziffern in einer völlig beliebigen Reihenfolge zu einer einzigen 192-stelligen Zahl aneinanderhängen. Nicht ganz so leicht ist die Aufgabe, wenn man statt der arabischen Zahlen römische Zahlen nimmt. Wie kann man die 401 Zahlenzeichen der 100 Zahlen I, II, III, IV, V, VI, …, XCVIII, XCIX und C so anordnen, dass möglichst wenige gültige römische Zahlen entstehen?
Es muss die normale Subtraktionsregel benutzt werden. In einer römischen Zahl werden die Ziffern von links nach rechts nach absteigenden Werten geordnet. Das heißt, normalerweise steht links von einer Ziffer keine kleinere Ziffer. Die Subtraktionsregel in ihrer Normalform besagt, dass die Ziffern I, X und C einem ihrer nächst oder übernächst größeren Zahlzeichen vorangestellt werden dürfen und dann in ihrem Zahlenwert von dessen Wert abzuziehen sind.
Die römischen Zahlen von I, II, III, IV und V enthalten das I siebenmal. Auch jede weitere Fünfergruppe enthält sieben I. Da es von I bis C zwanzig Fünfergruppen gibt, enthalten diese Zahlen insgesamt 20 · 7 = 140 mal das I.
Ganz ähnlich kann man sich überlegen, dass dieser Zahlenbereich 50 mal das V, 150 mal das X, 50 mal das L und 11 mal das C enthält. In einer römischen Zahl können das V und das L jeweils höchstens einmal vorkommen. Da fünfzig V und auch fünfzig L untergebracht werden müssen, kann die Anzahl der Zahlen nicht kleiner als fünfzig sein.
Fünfzig Zahlen reichen aber auch tatsächlich aus. Es gibt eine ganze Reihe von möglichen Lösungen mit fünfzig Zahlen. Eine davon ist CCLXXXVII, dreimal CCCLXXXV und 46 mal LXXXVIII.
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