Hemmes mathematische Rätsel: Yin, Yang und Yung
Werbung kann auch anspruchsvoll sein. Zwischen 1959 und 1964 warb die Firma Litton Industries in den Zeitschriften »Aviation Week« und »Electronic News« für ihre Produkte mit Anzeigen, die jedes Mal eine mathematische Denksportaufgabe enthielten. Diese Aufgaben waren ein so großer Erfolg, dass Litton Industries sie in gesammelter Form als eine Reihe kleiner Hefte mit dem Titel »Problematical Recreations« herausgab.
Yin und Yang sind zwei Begriffe aus der chinesischen Philosophie. Yin steht für das Dunkle, das Weiche und die Ruhe und Yang für das Helle, das Harte und die Aktivität. Dargestellt werden Yin und Yang häufig durch einen Kreis, der durch zwei Halbkreise in eine schwarze und eine weiße Hälfte geteilt wird. Nun ist die Welt aber nicht nur schwarz und weiß, sondern bunt. Darum ist in der Litton-Anzeige vom 19. Juli 1965 ein Kreis von 12 cm Radius durch vier Halbkreise in ein blaues Yin, ein gelbes Yang und ein rotes Yung unterteilt. Die Abbildung ist nicht ganz korrekt, denn sie zeigt Yang größer als Yin und Yung. Tatsächlich aber haben alle drei Teile den gleichen Flächeninhalt. Welche Radien müssen die vier Halbkreise haben, damit diese Bedingung erfüllt ist?
Der Kreis mit dem Radius R hat die Fläche πR2. Da Yin, Yang und Yung gleich groß sein sollen, müssen sie jeweils einen Inhalt von 1⁄3πR2 haben. Die Fläche des blauen Yin setzt sich zusammen aus einem kleinen blauen Halbkreis mit dem Radius r und einem großen blauen Halbkreis vom Radius R, der um einen gelb-roten Halbkreis vom Radius R−r verringert ist. Somit gilt 1⁄3πR2 = 1⁄2πr2/2 + 1⁄2πR2 − 1⁄2π(R−r)2. Diese Gleichung kann man zu r = 1⁄3R vereinfachen. Da R = 12 cm ist, haben die kleinen Halbkreise Radien von 4 cm und die großen von 8 cm.
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