Hemmes mathematische Rätsel: Zigarettenkippen
Der englische Autor Morley Adams schrieb in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts zahlreiche Kinderbücher zu den verschiedensten Themen, unter anderen auch zu Kreuzworträtseln und Denksportaufgaben. Eines davon ist das 1931 in London erschienene Buch »Puzzles That Everyone Can Do«. In diesem Werk taucht erstmals das Zigarettenkippenproblem auf, das sich seitdem zu einem Klassiker der Unterhaltungsmathematik entwickelt hat.
In den schlechten Zeiten direkt nach dem Ersten Weltkrieg waren Zigaretten rar und wertvoll. Sie hatten zeitweilig sogar den Charakter einer Währung, mit der man alle Güter des täglichen Lebens bezahlen konnte. Alfred war ein armer Mann und ging sehr sparsam mit seinen Zigaretten um. Aus den Kippen der gerauchten Zigaretten pulte er den Tabak heraus und konnte sich so aus jeweils fünf Kippen wieder eine neue Zigarette drehen. Wie viele Zigaretten konnte Alfred insgesamt rauchen, als er einmal zum Geburtstag 125 Zigaretten geschenkt bekam?
Alfred konnte insgesamt 156 Zigaretten rauchen. Zuerst hatte er die 125 geschenkten Zigaretten, dann konnte er aus den 125 Kippen 25 neue Zigaretten drehen und rauchen. Dabei blieben wieder 25 Kippen übrig, aus denen er sich noch einmal 5 Zigaretten drehen konnte. Die 5 übrig gebliebenen Kippen ergaben schließlich noch eine letzte Zigarette.
Das Problem kann man leicht verallgemeinern. Wie viele Zigaretten kann Alfred insgesamt rauchen, wenn er n Zigaretten geschenkt bekommt und aus jeweils m Kippen eine neue Zigarette drehen kann? Dabei sind n und m beliebige natürliche Zahlen. Der österreichische Mathematiker Helmut Postl hat hierfür 1994 die Lösung r = [(nm − 1)/(m − 1)] gefunden. Die eckigen Klammern sind Gauß-Klammern und bedeuten, dass der umklammerte Ausdruck auf eine ganze Zahl abgerundet wird.
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