Mathematisches Wissen gilt als erfahrungsunabhängig – a priori in Kants Ausdrucksweise – und damit sicher. Eswird begründet durch Beweise und ist dadurch in aller Regel nicht kontrovers. Das Gebäude der Mathematik wird Stein um Stein kumulativ aufgeführt, unbehelligt von Revolutionen, wie sie andere Wissenschaften heimsuchen. Und ihre Gegenstände existieren außerhalb von Zeit und Raum – soweit die gängige Vorstellung. "Die moderne Mathematik zeichnet sich durch Merkmale aus, die für eine soziologische Analyse tatsächlich kaum Raum mehr lassen", konzediert Bettina Heintz gegen Ende ihres Buches. Dennoch gelingt es ihr, 275 oft hochinteressante Seiten mit einer solchen zu füllen. Auf die Frage "Was ist Mathematik?" gibt Heintz eine informative Übersicht zu den verschiedensten Positionen in der Mathematikphilosophie. Den Anfang machen die altbekannten "ismen": Platonismus, Intuitionismus und Formalismus. Eine markante Schwierigkeit ist das Truth/proof-Problem: Wie lässt es sich erklären, dass Beweisbarkeit und Wahrheit in der Mathematik zusammenfallen? Oder ist das gar nicht so? Im Anschluss an Karl Popper hat Imre Lakatos 1963 in "Beweise und Widerlegungen" die geschichtliche Bedingtheit mathematischen Wissens herausgestellt. Dieses entwickle sich in einem Wechselspiel von Beweisversuchen, Widerlegungen, Präzisierungen und erneuten Beweisversuchen und habe damit die Qualität von Erfahrungswissen: "Ein Beweis ist im Prinzip immer nur wahr auf Zeit." Gegen diesen "Quasi-Empirismus" setzt Saunders MacLane, ein führender Mathematiker unserer Tage, die Behauptung "Mathematics rests on proof and proof is eternal" und gibt damit wohl die Mehrheitsansicht der mathematischen Gemeinschaft wieder. Die Soziologie sieht die Mathematik doch deutlich anders als diese sich selbst. Bettina Heintz hat dazu in Interviews am Bonner Max-Planck-Institut für Mathematik herauszufinden versucht, wie Mathematiker arbeiten und welches Selbstverständnis sie dabei haben. So erfährt man, woran ein Mathematiker noch lange vor dem Beweis zu erkennen glaubt, ob eine Behauptung wahr ist ("Schönheit"), was es mit dem "Aufschreiben" – allgemein mit der symbolischen Dimension von Mathematik – auf sich hat und wie Mathematiker über die Möglichkeiten denken, die der Computer bietet. Interessante Fragen, zu denen bislang wenig Material vorlag. Einen Ansatzpunkt für die soziologische Analyse liefert eine Funktion des Beweises: Ein Beweis soll die mathematische Gemeinschaft überzeugen, er ist Mittel der Kommunikation. Die Produktion mathematischen Wissens (unter Einschluss von dessen Kommunikation) ist damit sozial konditioniert. Die traditionellen wissenschaftstheoretischen Kontexte Entdeckungs- und Begründungszusammenhang (context of discovery, context of justification) sind zu ergänzen durch einen Überzeugungszusammenhang (context of persuasion). Zentrale These der Autorin ist: "Der Beweis ist ... ein hochgradig normiertes Kommunikationsverfahren, das die spezifischen Verständigungsprobleme der Mathematik zu lösen hilft." Er ist unter anderem ein Reflex darauf, dass die Gegenstände der Mathematik nicht sinnlich gegeben sind, folglich die konsensbildenden Verfahren der Naturwissenschaften nicht angewandt werden können. Der Beweis dient dazu, Intersubjektivität und Nachprüfbarkeit herzustellen; er vermittelt zwischen der subjektiven Evidenz, die ein Mathematiker empfindet, und dem Kritikbedürfnis anderer Experten. Damit stellt sich aber das Problem der Interpretation, denn Beweise sprechen nicht für sich selbst. Real existierende Beweise sind niemals vollständig formalisiert. Folglich muss der Interpret Vorwissen mitbringen, von dem wiederum seine Interpretation beeinflusst wird. Es zeigt sich so der in den Geisteswissenschaften gut bekannte hemeneutische Zirkel – wohl unerwartet, geht man von der üblichen Sicht der Mathematik aus. Mathematiker-Soziologie Überhaupt ist es ein großes Verdienst dieses Buches, zu zeigen, dass viele Fragen, die in anderen Kontexten geläufig sind, auch für das Verständnis der Mathematik relevant sind. Während bis weit ins 18. Jahrhundert der meist über Briefe vermittelte persönliche Kontakt eine Schlüsselrolle spielte, sieht sich der heutige Mathematiker einer weitgehend anonymen Wissenschaftlergemeinschaft gegenüber. Die Überzeugungsarbeit ist heute medienvermittelt; sie bedient sich verallgemeinerter symbolisch vermittelter Kommunikation. Damit ist man mitten in der modernen Soziologie gelandet mit bedeutenden Namen wie Mead, Habermas und Luhmann – die man im Zusammenhang mit Mathematik nicht zu hören gewohnt ist. Die Herausbildung dieser neuartigen konsensbildenden Kommunikationsmittel geht auf Veränderungen des 19. Jahrhunderts zurück: die Professionalisierung des Mathematikerberufes, insbesondere des Mathematiklehrers an höheren Schulen und Universitäten, die starke zahlenmäßige Zunahme von Berufsmathematikern (erst recht in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts), die Abgrenzung der Mathematik gegen Nachbargebiete wie theoretische Physik und die fortschreitende Verzahnung von Forschung und Lehre. Diese machten strenge, möglichst kontextunabhängige Beweise notwendig und führten zu jenem grundlegenden Wandel, den man gerne mit Felix Kleins eingängigem Terminus "Arithmetisierung" nennt. Herausgekommen ist die Mathematik, die wir kennen, ohne "Spuren menschlicher Herkunft". Gerade diese Sichtweise ist diskussionswürdig; so halte ich die These vom Einfluss der Lehre noch für nicht ausreichend belegt. Zu prüfen wäre auch, wie groß der Unterschied zwischen modernen und traditionellen Beweisen – etwa bei Euklid – wirklich ist. Hier wäre noch viel mathematikhistorische Feinarbeit zu leisten. Für einen Mathematiker, der das Schema Definition–Satz–Beweis–Beispiel verinnerlicht hat, ist vieles an diesem Buch gewöhnungsbedürftig – darunter vieles, das hier nicht erwähnt werden kann; aber die Mühe wird belohnt durch zahlreiche neue Aspekte und Einsichten. Eine umfassendere Sicht der Mathematik ist immer ein Gewinn, gerade für ein Fach, das noch mehr als andere im Elfenbeinturm steckt, und gerade im "Jahr der Mathematik" 2000. Und Bettina Heintz setzt keineswegs der einen Borniertheit eine andere gegenüber: Sie entsagt jedem Alleinvertretungsanspruch der soziologischen Sichtweise, betont in wohltuender Weise immer wieder die Wichtigkeit anderer Zugänge und relativiert die eigene Analyse.