Das Urlauberdilemma zum Selbstausprobieren
© webMathematica, ADDITIVE GmbH (Ausschnitt)
Der Artikel "Das Urlauberdilemma" (August 2007, S. 82) mit seinen Folgerungen, die dem gesunden Menschenverstand widersprechen, hat ein großes Echo ausgelöst. Mehrere Leser schlugen vor, das Dilemma durch Einführung gemischter Strategien zu lösen oder ihm zumindest etwas von seiner Schärfe zu nehmen. Dies ist in dem Essay im Novemberheft näher erläutert.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese gemischten Strategien zu konzipieren. Erste Versuche zeigen interessante und häufig nicht den Erwartungen entsprechende Ergebnisse. Probieren Sie mit! Mit Hilfe der Software webMathematica stellen wir Ihnen ein Experimentierfeld bereit.
Zwei Spieler A und B sagen gleichzeitig und unabhängig voneinander eine ganze Zahl zwischen den Werten b und xmax an. Im Standardbeispiel ist b = 2 und xmax = 100. Wenn beide dieselbe Zahl x angesagt haben, bekommen beide den Betrag x (in Euro) ausbezahlt. Wenn sie zwei Zahlen x < y ansagen, bekommt derjenige, der x gesagt hat, x+b ausbezahlt und der andere x–b.
Nach den Regeln der klassischen Spieltheorie kommen beide Spieler zu dem absurden Schluss, dass es optimal sei, den kleinsten Wert b anzusagen. Das ist das Urlauberdilemma; siehe dazu den Artikel mitsamt den zahlreichen Leserbriefen sowie den Essay.
Auf der Suche nach einer Auflösung des Dilemmas sind mehrere Leser auf gemischte Strategien verfallen: Jeder Spieler wählt seine Ansage zufallsabhängig, und es kommt auf die Wahrscheinlichkeiten an, die er den möglichen Ansagen zuweist.
Eine nahe liegende Idee ist: A wählt die Wahrscheinlichkeit für Ansage y um so höher, je größer die zugehörige Auszahlung a(y) ist. Dabei muss er B eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für dessen Ansagen unterstellen, zum Beispiel zunächst die Gleichverteilung, dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die A selbst auf Grund dieser Annahme gewonnen hat, dann die Verteilung, die sich aus dieser Annahme ergibt, und so weiter. A ist B gewissermaßen stets einen gedanklichen Schritt voraus; aber so wie es aussieht, konvergiert die Folge dieser Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Im Grenzwert stehen sich zwei Spieler auf gleichem "Erkenntnisstand" gegenüber – und der ist häufig nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 100 Prozent dem Wert zuweist und allen anderen nichts.
Probieren Sie es aus! Sie können außer der oberen Grenze xmax und dem Wert b der Bonus-/Strafzahlung auch noch bestimmen, was genau "um so höher, je größer" heißen soll. Das heißt: Wählen Sie eine (monoton steigende) Funktion f; das Programm berechnet dann die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung so, dass die Wahrscheinlichkeit für die Ansage y proportional f(a(y)) ist.
Hinter dieser Website steckt die Software webMathematica, die Internet-Version der mathematischen Universalsoftware Mathematica. Wir danken dem Hersteller Wolfram Research für die Überlassung der Software und der deutschen Vertriebsfirma ADDITIVE GmbH für technische Unterstützung. Es handelt sich um unseren ersten Versuch mit webMathematica. Hinweise auf Fehler oder Schwächen sind daher sehr willkommen: poeppe@spektrum.com
Probieren Sie es hier aus:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese gemischten Strategien zu konzipieren. Erste Versuche zeigen interessante und häufig nicht den Erwartungen entsprechende Ergebnisse. Probieren Sie mit! Mit Hilfe der Software webMathematica stellen wir Ihnen ein Experimentierfeld bereit.
Zwei Spieler A und B sagen gleichzeitig und unabhängig voneinander eine ganze Zahl zwischen den Werten b und xmax an. Im Standardbeispiel ist b = 2 und xmax = 100. Wenn beide dieselbe Zahl x angesagt haben, bekommen beide den Betrag x (in Euro) ausbezahlt. Wenn sie zwei Zahlen x < y ansagen, bekommt derjenige, der x gesagt hat, x+b ausbezahlt und der andere x–b.
Nach den Regeln der klassischen Spieltheorie kommen beide Spieler zu dem absurden Schluss, dass es optimal sei, den kleinsten Wert b anzusagen. Das ist das Urlauberdilemma; siehe dazu den Artikel mitsamt den zahlreichen Leserbriefen sowie den Essay.
Auf der Suche nach einer Auflösung des Dilemmas sind mehrere Leser auf gemischte Strategien verfallen: Jeder Spieler wählt seine Ansage zufallsabhängig, und es kommt auf die Wahrscheinlichkeiten an, die er den möglichen Ansagen zuweist.
Eine nahe liegende Idee ist: A wählt die Wahrscheinlichkeit für Ansage y um so höher, je größer die zugehörige Auszahlung a(y) ist. Dabei muss er B eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für dessen Ansagen unterstellen, zum Beispiel zunächst die Gleichverteilung, dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die A selbst auf Grund dieser Annahme gewonnen hat, dann die Verteilung, die sich aus dieser Annahme ergibt, und so weiter. A ist B gewissermaßen stets einen gedanklichen Schritt voraus; aber so wie es aussieht, konvergiert die Folge dieser Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Im Grenzwert stehen sich zwei Spieler auf gleichem "Erkenntnisstand" gegenüber – und der ist häufig nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 100 Prozent dem Wert zuweist und allen anderen nichts.
Probieren Sie es aus! Sie können außer der oberen Grenze xmax und dem Wert b der Bonus-/Strafzahlung auch noch bestimmen, was genau "um so höher, je größer" heißen soll. Das heißt: Wählen Sie eine (monoton steigende) Funktion f; das Programm berechnet dann die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung so, dass die Wahrscheinlichkeit für die Ansage y proportional f(a(y)) ist.
Hinter dieser Website steckt die Software webMathematica, die Internet-Version der mathematischen Universalsoftware Mathematica. Wir danken dem Hersteller Wolfram Research für die Überlassung der Software und der deutschen Vertriebsfirma ADDITIVE GmbH für technische Unterstützung. Es handelt sich um unseren ersten Versuch mit webMathematica. Hinweise auf Fehler oder Schwächen sind daher sehr willkommen: poeppe@spektrum.com
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