Lexikon der Mathematik: äußere Algebra
die im folgenden näher erläuterte assoziative \({\mathbb{K}}\)-Algebra
\begin{eqnarray}\wedge V:=\underset{r=0}{\overset{n}{\oplus }}{\wedge }^{r}V\end{eqnarray}
Sei В = (b1, …, bn) eine Basis von V. ∧rV bezeichnet den \((n\\ r)\)-dimensionalen, von der speziellen Wahl von B unabhängigen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum mit den Basiselementen
\begin{eqnarray}{b}_{{i}_{1}}\wedge \cdots \wedge {b}_{{i}_{r}},\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{r}\le n.\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}{V}^{r}=V\oplus \cdots \oplus V,\end{eqnarray}
und Ur den von den Tensoren\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}\oplus \cdots \oplus {\upsilon }_{r}\in {V}^{r}\end{eqnarray}
für ein Paar i ≠ j ∈ {1, …, r} aufgespannten Untervektorraum von Vr.
Der Vektorraum ∧rV wird als die r-te äußere Potenz von V bezeichnet. Es gilt \({\wedge }^{0}V={\mathbb{K}}\) und ∧1V = V. Die Elemente von ∧rV heißen r- Vektoren. Das Bild eines Tensors
\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}\oplus \cdots \oplus {\upsilon }_{r}\in {V}^{r}\end{eqnarray}
unter der natürlichen Quotientenabbildung qr von Vr nach vr/Ur, die jedem Element seine Nebenklasse zuordnet, wird mit\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}\wedge \cdots \wedge {\upsilon }_{r}\end{eqnarray}
bezeichnet. Die Quotientenabbildung ist r-fach alternierend.∧rV ist durch die folgende Eigenschaft charakterisiert: Zu jeder r-fach alternierenden Abbildung (alternierende Multilinearform) f : Vr → W (W ein beliebiger \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum) gibt es genau eine lineare Abbildung f′: ∧rV → W mit ƒ = f' ∘ qr. Durch
\begin{eqnarray}\wedge :{\wedge }^{r}V\times {\wedge }^{s}V\to {\wedge }^{r+s}V:({x}_{1}\wedge \ldots \wedge {x}_{r},{y}_{1}\wedge \ldots \wedge {y}_{s})\mapsto {x}_{1}\wedge \cdots \wedge {x}_{r}\wedge {y}_{1}\cdots \wedge {y}_{s}\end{eqnarray}
ist das äußere Produkt gegeben, das einem r-Vektor und einem s-Vektor einen (r + s)-Vektor zuordnet und assoziativ ist.Ist der Vektorraum V nicht endlich-dimensional, so ist die äußere Algebra über V definiert als die direkte Summe
\begin{eqnarray}\wedge V:=\underset{r=1}{\overset{\infty }{\oplus }}{\wedge }^{r}V,\end{eqnarray}
in der alle ∧rV vom Nullraum verschieden sind.Die mit ∧ bezeichnete Multiplikation in ∧V ist nun definiert durch Vorschrift
\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}\wedge {\upsilon }_{2}=\displaystyle \sum _{p,q=1}^{n}{\upsilon }_{{1}_{p}}\wedge {\upsilon }_{{2}_{q}},\end{eqnarray}
wobei\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}=\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\upsilon }_{{1}_{r}},\,{\upsilon }_{2}=\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\upsilon }_{{2}_{r}}\in \wedge V\end{eqnarray}
und \({\upsilon }_{{1}_{r}},{\upsilon }_{{2}_{r}}\in {\wedge }^{r}V\)eindeutig bestimmt sind.
Ist V n-dimensional, so gilt
dim ∧V = 2n
(∧V aufgefaßt als \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum).
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