Lexikon der Mathematik: Aufblasung
zunächst intuitiv geschildert, die folgende Idee: Wenn f1, …, fn Funktionen auf einer algebraischen VarietätX sind \(({f}_{i}\in {{\mathscr{O}}}_{X}(X))\), so erhält man durch
\begin{eqnarray}f:x\mapsto ({f}_{1}(x):\ldots :{f}_{n}(x))\end{eqnarray}
einen Morphismus mit Werten in ℙn–1, der allerdings nur in Punkten definiert ist, die nicht gemeinsame Nullstelle von (f1,…, fn) sind, also auf &KHgr;\V Die Nullstellenmenge V = V (f1,…, fn) werde als nirgends dicht in X vorausgesetzt. Der Unbestimmtheit dieser Abbildung f längs V kann man abhelfen: Man ersetzt X durch \(\tilde{X}\subset X\times {{\mathbb{P}}}^{n-1}\) wobei \(\tilde{X}\) die sog. Zariski-Abschließung des Graphen von f in\begin{eqnarray}(X\backslash V)\times {{\mathbb{P}}}^{n-1}\subset X\times {{\mathbb{P}}}^{n-1}\end{eqnarray}
Dieselbe Idee läßt sich auch in der Kategorie der komplexen Räume mit analytischen Funktionen f1, ⋯, fn durchführen. Da außerhalb V der Raum X nicht abgeändert wird, kann man auch davon ausgehen, daß V vorgegeben ist und f1, ⋯, fn nur in einer Umgebung U von V definiert sind. Im einfachsten Fall, daß X eine glatte komplexe Mannigfaltigkeit ist und V = {p} ein Punkt, ergibt sich folgendes topologische Bild: \(\tilde{X}\) ist diffeomorph zur zusammenhängenden Summe X#(–ℙn(ℂ)) orientierter Mannigfaltigkeiten (–ℙn(ℂ) bezeichnet dabei die Mannigfaltigkeit ℙn(ℂ), aber mit der der Standard-Orientierung entgegengesetzen Orientierung).
Wir geben nun die formale Definition von Aufblasungen: Sei X ein Schema und V ⊂ X abgeschlossenes nirgends dichtes Unterschema, \({\rm{ {\mathcal I} }}\) die zugehörige Idealgarbe, von der vorausgesetzt werde, daß sie lokal von endlichem Typ sei. Dann ist \({\mathscr{S}}={{\mathscr{O}}}_{X}\otimes {\rm{ {\mathcal I} }}\otimes {{\rm{ {\mathcal I} }}}^{2}\otimes {{\rm{ {\mathcal I} }}}^{3}\cdots \) eine graduierte quasikohärente \({{\mathscr{O}}}_{X}\)-Algebra, und der zugehörige Morphismus
\begin{eqnarray}\tilde{X}=\mathrm{Proj}({\mathscr{S}})\mathop{\to }\limits^{\sigma }X\end{eqnarray}
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