besagt in einer einfachen Version:

Jeder vollständige metrische Raum ist von zweiter Kategorie (Bairesches Kategorieprinzip) (in sich).

Diese relativ einfach zu beweisende Aussage hat viele weittragende und interessante Anwendungen, zum Beispiel das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit der Funktionalanalysis, und damit zum Beispiel Aussagen über Quadraturformeln bei der numerischen Integration.

Als weitere nicht-triviale Anwendung erhält man, daß es (z. B. auf [0, 1]) stetige reellwertige Funktionen gibt, die nirgends differenzierbar sind.

Im Baireschen Sinne sind sogar „fast alle“ – d. h. bis auf eine magere Ausnahmemenge alle – stetigen Funktionen nirgends differenzierbar.