A. Bréard

Die Anfänge der chinesischen Mathematik sind zweifelsohne eng mit der Astronomie verbunden. Mit ihrer nicht-geometrischen formalen Methodik orientierte sie sich viel mehr zur Kalenderrechnung und weniger zum Entwurf kosmographischer Modelle hin. Die Positionen der Himmelskörper konnten allein durch ein System numerischer Konstanten der Ephemeriden, Interpolationsalgorithmen und zyklischen Theorien bestimmt werden, deren Wahl auch von numerologischen Betrachtungen und politischen Ereignissen beeinflußt war.

Der früheste, gegen Ende des ersten Jahrhunderts nach Christus kompilierte und heute noch erhaltene mathematisch-astronomische Text, der „Mathematische Klassiker des Gnomons von Zhou“(chin. Zhou bi suanjing), steht in enger Verbindung mit dem kosmographischen „gai-tian“ (wörtlich: Himmel als Wagendecke)-Modell, das während der Han Dynastie (206 v. Chr. bis 220 n. Chr.) populär war. Es ist vor allem bekannt wegen seines Beweises einer zum Satz von Pythagoras analogen Aussage bezüglich dreier Größen eines rechtwinkligen Dreiecks. Als der Mathematiker und Hofastrologe Li Chunfeng (602–670 n. Chr.) und sein Stab eine kommentierte Edition des „Zhou bi“ in eine Kompilation aufnahm, die für die staatliche Tang-Akademie vorbereitet wurde, erhielt es neben neun anderen mathematischen Werken 656 den Status eines ‚mathematischen Kanons‘ und wurde erstmals als solcher von der kaiserlichen Bibliothek der Nördlichen Song Dynastie 1084 gedruckt. Li Chunfengs Projekt der „Zehn Bücher mathematischer Klassiker“ (chin. Suanjing shi shu) wurde als Textbuch an der vom Kaiser Gao Zong 656 gegründeten Akademie für Mathematik verwendet. Diese Akademie unterstand dem Direktorat der Erziehung. Eine „Schule der nationalen Jugend für Mathematik“ (chin. Suan li guozi xue) existierte bereits seit der Sui-Dynastie, sie wurde im Jahre 628 von der Tang-Dynastie übernommen, jedoch ist nichts über das verwendete Unterrichtsmaterial bekannt.

Die „Zehn Bücher“ beinhalten auch die für die Weiterentwicklung und Kontinuität der chinesischen Mathematik grundlegenden „Neun Kapitel über mathematische Prozeduren“ (chin. Jiu zhang suanshu), zu denen Liu Hui im Jahre 263 einen Kommentar fertigstellte. Die Kommentare der heute noch erhaltenen Song-Edition beinhalten auch Fragmente, die anderen Mathematikern zugeschrieben wurden. Zu Geng (zweite Hälfte des 5. bis erste Hälfte des 6. Jhs. n. Chr.), der Sohn eines anderen berühmten Tang-Mathematikers und Astronomen, Zu Chongzhi (429–500), kannte scheinbar den Kommentar von Liu Hui, als er seinen „Subkommentar“ schrieb, der der Methode zur Berechnung des Kugelvolumens gilt und Ähnlichkeiten zum Cavalierischen Prinzip (Cavalieri, Prinzip des) aufweist.

Spätere Editionen enthalten Kommentare von Jia Xian (erste Hälfte des 11. Jhs. n. Chr.), die auf seinen heute verschollenen „Detaillierten skizzierten [Rechenwegen] zum Mathematischen Klassiker in Neun Kapiteln des Gelben Kaisers“ (chin. Huangdi jiu zhang suanjing xicao) beruhen.

Die älteste heute nur teilweise erhaltene Blockdruckausgabe der „Neun Kapitel…“ entstand während der südlichen Song-Dynastie im Jahre 1213. Es war die Neuauflage des Druckes der kaiserlichen Bibliothek von 1084 durch Bao Huanzhi. Das Original, von dem nur noch die ersten fünf Kapitel existieren, befindet sich heute in der Bibliothek von Shanghai. Es folgten Editionen von Yang Huis „Genauen Erklärungen zu den Neun Kapiteln über mathematische Methoden“ (chin. Xiangjie jiu zhang suanfa) im Jahre 1261 und 1408 zu Anfang der Ming-Dynastie in der „Großen Enzyklopädie der Yongle-Ära“ (chin. Yongle dadian).

Der Gelehrte Dai Zhen (1724–1777) nahm im Zuge seiner Bearbeitung des alten mathematischen Schrifttums im Rahmen des Projektes der „Kompletten Bibliothek der vier Schatzkammern“ (chin. Si ku quan shu) die „Ergänzung von Abbildungen und Fehlerkorrekturen der Neun Kapitel über mathematische Prozeduren“ vor. Seit Dai Zhens Kompilationsarbeit der „Zehn Bücher mathematischer Klassiker“, wurden mehr als zehn weitere Editionen der „Neun Kapitel“ entdeckt.

Ein weiteres, vor 626 verfaßtes Werk der „Zehn Bücher“, Wang Xiaotongs „Mathematischer Klassiker der Fortsetzung der Antike“ (chin. Ji gu suanjing), spielte eine wichtige Rolle in der Entwicklung von Prozeduren zur Lösung algebraischer Gleichungen. Es beinhaltet insgesamt 20 Aufgaben, wovon die erste ein Problem zur Kalenderrechnung ist, die Aufgaben 2 bis 5 von der Konstruktion geometrischer Körper handeln, Aufgaben 6 bis 16 Probleme zum Bau verschiedener Typen von Getreidespeichern stellen und die (teilweise unvollständigen) Aufgaben 17 bis 20 von rechtwinkligen Dreiecken handeln.

Sämtliche Lösungsprozeduren zu Aufgabe 2 bis 20 beinhalten die Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen, was dem Werk eine gewisse Abgeschlossenheit verleiht. Wang Xiaotongs erste Aufgabe fragt nach der Position des Mondes auf der Ekliptik zum Zeitpunkt des zu Jahresbeginn (Mitternacht des ersten Tages des elften Monats) gewünschten, aber noch nicht eingetretenen Neumondes bei gegebener täglicher Fortbewegung von Sonne und Mond, der Position der Sonne auf der Ekliptik zum Zeitpunkt des gewünschten, aber noch nicht eingetretenen Neumondes und bei gegebener Verzögerung des Eintritts des Neumondes nach Jahresbeginn.

Die in den Annalen der Tang-Dynastie erwähnten Kommentare von Zhen Luan (um 566) und von Li Chunfeng zu „Meister Suns mathematischem Klassiker“ (chin. Sunzi suanjing, spätes 4. Jh.), der ebenfalls eines der „Zehn Bücher mathematischer Klassiker“ darstellt, sind leider beide verloren. „Meister Suns Klassiker“ ist das früheste Zeugnis arithmetischer Prozeduren in der chinesischen Mathematik. Es werden erstmals die Positionsschreibweise der Zahlen mit Stäbchen, und detailliert Multiplikation und Division mit den Rechenmitteln auf den Positionen der Rechenoberfläche beschrieben.

Die textuelle Struktur des ersten Teils des Werkes unterscheidet sich von der üblichen Anordnung in Frage, Antwort und Prozedur. In sequentieller Form werden zunächst Maße, Gewichte, große Zahlen und Standardmaße definiert, bevor begonnen wird, die Methoden der Stäbchenarithmetik mit den Positionen zu besprechen. Es folgen allgemeine Formulierungen der Prozeduren zur Multiplikation und der dazu inversen Prozedur der Division, und darauf eine sortierte Liste von Multiplikationen, Divisionen und Summationen. Erst im zweiten und dritten Teil des Werkes werden in der von den „Neun Kapiteln“ vorgegebenen Art und Weise Aufgaben mit Lösungsprozeduren angegeben.

„Zhang Qiujians mathematischer Klassiker“ (chin. Zhang Qiujian suanjing), vermutlich zwischen 466 und 485 verfaßt, stellt im erweiterten Sinne ebenfalls einen Kommentar zu den „Neun Kapiteln“ dar, da er viele Aufgabenmodelle übernimmt, zu denen ‚skizzierte [Rechenwege]‘ von dem Sui-zeitlichen Astronom Liu Xiaosun (Mitte 6. Jh.) die Lösung numerisch detailliert ausführen.

Er enthält aber auch Aufgabentypen, die dann ihrerseits selbst zu kanonischen Modellen in späteren Werken werden, so z. B. das Problem der ‚Hundert Vögel‘, das die Lösung eines unbestimmten Gleichungssystems erfordert. Bemerkenswert ist, daß Aufgaben aus den „Neun Kapiteln“ oft in inverser Form gestellt sind, d. h. mit Vertauschung von Angaben und gesuchten Werten und dadurch invertierten Algorithmen. Dies führt in vielen Umkehraufgaben auf eine kubische Gleichung, die Zhang Qiujian mit einem erweiterten Algorithmus der Extraktion der Quadratwurzel aus den „Neun Kapiteln“ löst. Aus dem Vorwort kann man schließen, daß Zhang Qiujian andere Werke der „Zehn Bücher“ kannte und seine wesentliche mathematische Aktivität in der Umformulierung ihrer Prozeduren bestand. Er beschränkte sich in seiner textuellen Arbeit an der Antike nicht nur darauf, Prozeduren früherer Werke zu kommentieren, sondern kombinierte und formulierte eine Menge von Aufgabenmodellen der „Neun Kapitel“ um.

Zu Beginn dieses Jahrhunderts entdeckten Archäologen in der nordwestchinesischen Provinz Gansu in zu den Grotten von Mogao gehörenden Tausend-Buddha-Steinhöhlen Manuskripte aus dem fünften bis zehnten Jahrhundert. Darunter befanden sich auch sechs mathematische Manuskripte, die der französische Sinologe Paul Pelliot (1878–1945) und der Brite Aurel Stein (1862–1943) neben anderen Manuskripten jeweils für die Nationalbibliotheken ihrer Länder erwarben. Eines der Manuskripte, auf dessen Rückseite das Jahr 952 (2. Jahr der Guangshun-Ära) angegeben ist, tabelliert z. B. das Flächenprodukt in mu für alle rechteckigen Felder mit Seitenlängen 60 bu (1 mu = 240 Quadrat-bu).

Erst aus der Nördlichen Song-Zeit stammt eine weitere heute noch erhaltene gedruckte Quelle zur Mathematik. Die älteste heute in Japan erhaltene Edition der „Pinselgespräche am Traumbach“ (chin. Mengxi bitan) des Bürokraten Shen Gua (1031–1095) ist die 1166 gedruckte Version mit einem Vorwort des Herausgebers Tang Xiunian. Bei der Schrift Shens handelt es sich nicht um ein reines Mathematikmanual, sondern um eine enzyklopädische Sammlung von insgesamt 609 ‚Notizen‘ zu historischen Gegebenheiten, astronomischen Phänomenen, Bemerkungen zur Administration, Flußregulierung, Phonologie, Musikologie, Medizin, Philologie, zum Buddhismus, zu sogenannten „Kuriositäten“ und vielem mehr.

Gerühmt wurden insbesondere zwei mathematische Prozeduren, die er in Notiz 301 unter dem Aspekt der ‚Konstruktion der Feinheit‘ zusammenfasst. Die erste Prozedur für ‚Akkumulationen mit Lücken‘ berechnet die Anzahl der Weingefäße, die in Form eines rechteckigen Pyramidenstumpfes aufgestapelt sind; die „Prozedur der Kreisvereinigung“ bestimmt durch iterative Zerlegung eines kreisförmigen Feldes die Länge des Kreisbogens aufeinanderfolgender Segmente.

Der Quellenlage nach zu urteilen, ist das 13. Jahrhundert das ergiebigste in der Geschichte der chinesischen Mathematik. Unzählige Referenzen zu heute verschollenen Werken zeigen, daß es auch mathematisch gesehen eine der fruchtbarsten Perioden verkörpert. Yang Huis Werke enthalten die Spuren einer geometrischen Methode, die der vor allem im nordwestchinesischen Raum zirkulierenden algebraischen Methode der „himmlischen Unbekannten“ (chin. tian yuan) zugrunde liegt. Letztere erlaubt Li Ye die Lösung von Gleichungen höheren Grades mit einer Unbekannten. In den von ihm verwendeten Koeffiziententableaus wird dabei entweder die Position des Koeffizienten ersten Grades mit dem Zeichen yuan oder die Position des konstanten Terms mit tai markiert. Dadurch ist die Bedeutung der Koeffizienten auf allen anderen Positionen festgelegt.

Der Lösung der Aufgaben nach zu urteilen, die in Yang Huis „Einfachen Multiplikations- und Divisions-Verfahren mit analogen Beispielen zu den Kategorien der Feldvermessung“ (chin. Tian mu bi lei cheng chu jie fa, 1275) zitiert werden, entstand die tian yuan-Methode aus Betrachtungen ebener Flächen, deren Flächenprodukt im allgemeinen bekannt ist. In der Lösung sind die ebenen Flächen aus Teilflächen zusammengesetzt gedacht, die mit den in der Aufgabe erscheinenden Größen gebildet werden und mit den Koeffizienten der zu lösenden quadratischen Gleichung in argumentativer Verbindung stehen.

1299 verwendet Zhu Shijie die tian yuan-Methode am systematischsten im letzten Kapitel seiner „Einführung in das Studium der Mathematik“ (chin. Suanxue qimeng) in diversen Aufgaben für ebene Flächenprodukte und auch erstmals für Volumina.

Lediglich die ersten sieben Aufgaben des Kapitels erfordern keine Erstellung von Tableaus mit der tian yuan-Methode. Sie handeln von der „Öffnung der Seiten“, das ist die Ziehung der Wurzel aus einem gegebenen Flächen-, Volumen- oder mehr- dimensionalen Produkt. In Aufgabe 5 erfordert dies z. B. die „Öffnung der dreifach multiplizierten Quadratseite“ das ist die Ziehung der vierten Wurzel, aus 1129458 511/625. Im „Jadespiegel der vier Unbekannten“ (chin. Si yuan yu jian, 1303) verwendet Zhu Shijie in über 200 Aufgaben die tian yuan-Methode zur Lösung der Aufgabenstellungen. Dabei beschränkt er sich nicht nur auf Längen der Seiten oder Umfänge, und Oberflächen oder Volumina geometrischer Figuren, sondern untersucht auch deren Schnitte und diskrete Akkumulationen. Seine Prozeduren enthalten aber keine schrittweise Herleitung der Tableaus mehr. Er gibt nur die Wahl der himmlischen Unbekannten und die Koeffizienten an, die durch Suche „gleicher [Flächen-] Produkte“ (chin. ru ji) erhalten werden sollten.

Die tian yuan-Methode hatte im ostasiatischen Raum durch die Transmission von Zhu Shijies „Einführung in das Studium der Mathematik“ nach Korea, wo es vermutlich 1433 unter der Regierung von König Sejong (reg. 1418–1450) gedruckt wurde, und die Überlieferung am Ende des 16. Jahrhunderts weiter nach Japan große Beachtung gefunden und eine Menge von Kommentaren hervorgebracht. Dabei stießen die Autoren aber auch auf Probleme, die die Grenzen der tian yuan-Methode aufzeigten, insbesondere dann, wenn ein Problem mit zwei Unbekannten nicht durch zwei voneinander unabhängige Gleichungen formuliert werden konnte. In China konnten Zhu Shijie und seine Vorgänger solche Probleme (teilweise) bereits mit einer Methode für bis zu vier Unbekannte lösen, allerdings wurden deren Werke, die diese Methodik beschrieben, nicht nach Korea und Japan überliefert. Zhu Shijies späteres Werk, der „Jadespiegel“, ist der einzige heute erhaltene Zeuge einer Lösungsmethode für Gleichungssysteme höheren Grades mit bis zu vier Unbekannten. Dabei wirddie erste Unbekannte weiterhin mit ‚himmlische Unbekannte‘ bezeichnet, die weiteren mit ‚irdische‘, ‚menschliche‘ und gegenständliche Unbekannte‘. Dabei wurden die Koeffizienten für mehrere Unbekannte in den Tableaus wie unten gezeigt angeordnet.

Diese Darstellungsart setzte natürlich den kalkulatorischen Möglichkeiten Grenzen. Zum einen, weil auf diese Weise nicht alle theoretisch möglichen Produkte dargestellt werden konnten; zum anderen, weil die weitere Entwicklung der Anzahl der Unbekannten in einer Sackgasse war. Die Möglichkeiten der ebenen Darstellung waren beschränkt auf die vier Himmelsrichtungen und dadurch auf maximal vier Unbekannte. Neben soziopolitischen Gründen war dies vermutlich ein struktureller Grund, der der Entwicklung der tian yuan-Methode nach Zhu Shijie ein Ende bereitete.

Erst im 17. Jahrhundert erfuhr die chinesische Mathematik eine Wiederbelebung durch den Kontakt mit Jesuiten-Missionaren, die am Kaiserhof tätig waren, und von deren wissenschaftlichen Kenntnissen man lernen wollte. Es wäre aber falsch, eine Pragmatik nur den Chinesen zu unterstellen, denn andererseits nutzten die Jesuitenmissionare ihr Wissen dazu, um als die Repräsentanten einer Kultur und Religion zu erscheinen, die es Wert waren, das Interesse der chinesischen Gelehrten zu wecken. Durch diese Politik der Jesuiten, ihre wissenschaftliche Kompetenz in den Dienste der Religion zu stellen, gerieten die Missionare auch in Konflikt mit der Kirche, es schien aber der einzige Weg, um eine Mission in China aufrechtzuerhalten.

Xu Guangqi (1562–1633) war bereits seit 1596 in Kontakt mit Missionaren und insbesondere mit Matteo Ricci, von dem er Unterweisungen in Mathematik, Hydraulik, Astronomie und Geographie erhielt. Er leitete die astronomische Reform, die seit 1629 offiziell in China im kaiserlichen Büro für Astronomie durchgeführt wurde, und überzeugte die Jesuiten davon, die Übersetzung wissenschaftlicher Werke aus dem Westen ins Chinesische vorzunehmen. Eines der einflußreichsten Bücher dabei waren wohl die Elemente des Euklid, deren Übersetzung der ersten sechs Bücher (1607) auf der lateinischen kommentierten Ausgabe des Christophorus Clavius beruhte und das Interesse der chinesischen Mathematiker an euklidischer Geometrie weckte.

[4] Jami, Catherine: Les méthodes rapides pour la trigonométrie et le rapport précis du cercle (1774). Tradition chinoise et apport occidental en mathématiques. Collège de France (Mémoires de l’Institut des Hautes Études Chinoises; XXXII) Paris, 1990.