Lexikon der Mathematik: Dedekind-Schnitt
Dedekindscher Schnitt, manchmal auch einfach nur Schnitt genannt, Paar D = (L, R) von Teilmengen L, R einer totalen Ordnung (M, ≤) mit den Eigenschaften
- L, R ≠ θ und L ⋃ R = M,
- L< R, d. h. ℓ< r für alle ℓ ∈ L, r ∈ R,
- R hat kein kleinstes Element.
Ein Dedekind-Schnitt D = (L, R) ist sowohl durch seine linke Menge L(D) := L als auch durch seine rechte Menge R(D) := R eindeutig bestimmt. Eine Menge R ⊂ M ist genau dann rechte Menge eines Dedekind-Schnitts, nämlich des Schnitts D(R) := (M \ R, R), wenn gilt:
- \({\theta }\,_{\ne }^{\subset }{R}\,_{\ne }^{\subset }M,\)
- M \ R< R,
- R hat kein kleinstes Element.
\begin{eqnarray}{D}_{1}\le {D}_{2}:\iff R({D}_{1})\supset R({D}_{2})\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}R:=\bigcap \{R(D)|D\in {\mathbb{D}}\}\end{eqnarray}
eine rechte Menge, und D(R) ist Supremum zu \({\mathbb{D}}\). Wenn die Ordnung (M, ≤) dicht ist, ist auch (\({\mathbb{D}}\)(M), ≤) dicht, und wenn in M kein kleinstes bzw. kein größtes Element existiert, gibt es auch in \({\mathbb{D}}\)(M) kein kleinstes bzw. kein größtes Element. Erlaubt man leere linke bzw. rechte Mengen, so enthält \({\mathbb{D}}\)(M) ein kleinstes Element −∞ := (θ, M) bzw. ein größtes Element ∞ := (M, θ). Für x ∈ M ist\begin{eqnarray}R(x):=\{m\in M|m\gt x\}\end{eqnarray}
eine rechte Menge, und die Abbildung\begin{eqnarray}\Phi :M\ni x\mapsto D(R(x))\in {\mathbb{D}}(M)\end{eqnarray}
Ist K ein geordneter Körper, dann läßt sich auch \({\mathbb{D}}\)(K) zu einem Körper machen. So definierte 1871 Richard Dedekind die reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte in den rationalen Zahlen. Eine Verallgemeinerung von Dedekind-Schnitten sind Conway-Schnitte.
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