Eigenschaft des Lebesgue-Integrals.

Die Gebietskonvergenz der Integration besagt, daß die Lebesgue-Integrale einer Funktion auf einer aufsteigenden Folge von Integrationsgebieten gegen das Integral über die Vereinigung der Integrationsgebiete konvergieren. Genauer: Sei (M_k) eine isotone Mengenfolge in ℝⁿ, d. h. M₁ ⊂ M₂ ⊂ … und \(M\space =\space \displaystyle {\cup }_{k\space =\space 1}^{\infty }{M}_{k}\).

Ist dann f : M → ℝ über M und über alle M_k Lebesgue-integrierbar, dann gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{M}f(x)\space dx=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{M}_{k}}f(x)\space dx.\end{eqnarray}

Man erhält diese Aussage aus dem Satz von Lebesgue durch Betrachten der Funktionen \({f}_{k}:=\space {\chi }_{{M}_{k}}f\) mit f_k(x) → f(x) für x ∈ M und k → ∞. Die Integrierbarkeit von f über M läßt sich oft mit Hilfe des Satzes von Levi aus der Integrierbarkeit über die M_k erschließen.