Integritätsbereich, ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler, z. B. der Ring \({\mathbb{Z}}\) der ganzen Zahlen.

In jedem Integritätsring R gilt die Kürzungsregel für x, y, z ∈ R mit x ≠ 0: \begin{eqnarray}xy=xz\quad\Rightarrow\quad y=z.\end{eqnarray}

Man benötigt dies, um zu zeigen, daß die auf der Menge der Paare {(x, y) ∈ R × R : y ≠ 0} definierte Äquivalenzrelation \begin{eqnarray}(a,b)\sim (c,d)\quad\iff \quad ad=bc\end{eqnarray} mit den aus der Bruchrechnung bekannten Rechenarten Addition \begin{eqnarray}(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\end{eqnarray} und Multiplikation \begin{eqnarray}(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)\end{eqnarray} verträglich ist. Analog zum Übergang vom Integritätsring \({\mathbb{Z}}\) der ganzen Zahlen zum Körper \({\mathbb{Q}}\) der rationalen Zahlen (Brüche) läßt sich so zu jedem Integritätsring sein Quotientenkörper definieren.