Approximation hinsichtlich der L₁-Norm.

Die L₁-Approximation bildet einen Teilbereich der Approximationstheorie. Bezeichnet C[a, b] den Raum der stetigen Funktionen auf [a, b], so wird durch

\begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{1}=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt,f\in C[a,b],\end{eqnarray}

die L₁-Norm festgelegt. Diese Norm kann man auch auf der größeren Funktionenklasse der L₁-integrierbaren Funktionen definieren, d. h. Funktionen f mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt\lt \infty. \end{eqnarray}

Ist G ein Teilraum von C[a, b], so heißt g_f ∈ G beste L₁-Approximation an f ∈ C[a, b], falls

\begin{eqnarray}{\Vert f-{g}_{f}\Vert }_{1}\le {\Vert f-g\Vert }_{1}\end{eqnarray}

für alle g ∈ G gilt. Anschaulich bedeutet dies, daß der Flächeninhalt zwischen f und g_f minimal ist. B.R. Kripke und T.J. Rivlin formulierten 1965 die folgende Charakterisierung von besten L₁-Approximationen.

Die Funktion g_f ∈ G ist genau dann beste L₁-Approximation an f ∈ C[a, b], wenn gilt:

\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{sgn}(f-gf)(t)dt=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{Z(f-{g}_{f})}|g(t)|dt,g\in G.\end{eqnarray}

Hierbei ist

\begin{eqnarray}Z(f-{g}_{f})=\{t\in [a,b]:(f-{g}_{f})(t)=0\}.\end{eqnarray}

Ist G ein Tschebyschew-System, so ist die beste L₁-Approximation stets eindeutig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht, denn auch für Splinefunktionen gilt diese Aussage. Die beste L₁-Approximation kann unter gewissen Voraussetzungen durch Lagrange-Interpolation bestimmt werden. Ist G ein n-dimensionales Tschebyschew-System, so existieren eindeutig bestimmte Punkte a< t₁< … < t_n< b mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{(-1)}^{i}\displaystyle \underset{{t}_{i}}{\overset{{t}_{i+1}}{\int }}g(t)dt=0,{\quad}g\in G.\end{eqnarray}

Hierbei sind t₀ = a und t_n+1 = b. Die Punkte t₁, …, t_n werden kanonische Punkte von G genannt. In diesem Fall bezeichnet man die Menge

\begin{eqnarray}C(G)=\{f\in C[a,b]:G\cup \{f\}\text{ist ein Tschebschew-System von}C[a,b]\}\\ \end{eqnarray}

als den Konvexitätskegel von G. Im Jahr 1977 zeigte C.A.Michelli den folgenden Satz über einen Zusammenhang von L₁-Approximation mit der Lagrange-Interpolation.

Es seien G ein n-dimensionales Tschebyschew-System und a< t₁< … < t_n< b die kanonischen Punkte von G. Für jede Funktion f ∈ C(G) ist die beste L₁-Approximation g_f ∈ G an f eindeutig durch

\begin{eqnarray}{g}_{f}({t}_{i})=f({t}_{i}),{\quad}i=1,\mathrm{...},n,\end{eqnarray}

festgelegt.

[1] G. Nürnberger: Approximation by Spline Functions. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1989.