Lexikon der Mathematik: Landau-Symbole
die beiden – 1905 von Edmund Landau eingeführten – Symbole o („klein o“) und O („groß O“) zur vergleichenden Beschreibung der Größenordnung von Funktionen (und damit von Folgen) bei Grenzübergängen: Sind etwa D ein offenes Intervall, a ∈ D, f : D \{a} → ℝ und g : D \{a} → [0, ∞), so definiert man
und liest dafür „ f(x) ist klein o von g(x) für (den Grenzübergang) x → a“, sowie
und liest dafür „ f(x) ist groß O von g(x) für (den Grenzübergang) x → a“. Es wird also beschrieben, daß der Quotient \({\scriptstyle \frac{f(x)}{g(x)}}\) bei dem betrachteten Grenzübergang beschränkt bleibt.
Entsprechend werden „klein o“- und „groß O“-Bedingungen für einseitige Grenzübergänge x → a−, x → a+, das Verhalten für x → ∞, x → −∞ und ganz beliebige Grenzübergänge (D als Teilmenge eines topologischen Raumes und a Häufungspunkt zu D) erklärt. Dabei ist ersichtlich, daß – neben allgemeineren Definitionsbereichen – anstelle von ℝ beliebige normierte Vektorräume, speziell also auch ℂ, als Zielbereich für f möglich sind, wenn man nur den Betrag | | durch die gegebene Norm ∥ ∥ ersetzt.
Die Landau-Symbole haben zum Beispiel Bedeutung bei der Beschreibung von Differenzierbarkeit und bei dem Satz von Taylor: Die Differenzierbarkeit von f an der Stelle a besagt:
f wird bei a durch das Polynom ersten Grades
bis auf einen, Fehler‘ r(x) approximiert, für den
also
gilt. Der, Rest‘ r(x) geht, schneller als von erster Ordnung‘ gegen 0, d. h. noch nach Division durch | x − a|.
Die beiden Symbole haben nur bei Angabe eines Grenzübergangs Sinn. Wird dieser weggelassen, so geht man davon aus, daß dieser aus dem Zusammenhang heraus klar ist.
Beide Ausdrücke f(x) = o(g(x)) und f(x) = O(g(x)) sind keine Gleichungen in dem Sinne, daß etwa aus f1(x) = o(g(x)) und f2(x) = o(g(x)) die Gleichheit von f1(x) und f2(x) (lokal bei a) gefolgert werden kann. Die Beziehung f(x) = o(g(x)) bedeutet nur, daß f eine Funktion ist, für die \({\mathrm{lim}}_{x\to a}{\scriptstyle \frac{f(x)}{g(x)}}=0\) gilt.
Bei der praktischen Verwendung wird man natürlich, einfache‘ Funktionen g heranziehen: Bei einem vorgegebenen Grenzübergang hat man etwa
(Die letzte Aussage bedeutet also gerade: f und g sind asymptotisch gleich.) f(x) = o(g(x)) impliziert f(x) = O(g(x)). Die Umkehrung gilt nicht, wie etwa g(x) := f(x) := 1 für x ∈ ℝ zeigt.
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