der folgende bemerkenswerte Zusammenhang zwischen dem vollständigen elliptischen Integral erster Art K, dem vollständigen elliptischen Integral zweiter Art E, und der Zahl π.

Es gilt für beliebiges k ∈ ℝ, 0 < k< 1:

\begin{eqnarray}E(k)K({k}^{^{\prime} })+E({k}^{^{\prime} })K(k)-K(k)K({k}^{^{\prime} })=\frac{\pi }{2}.\end{eqnarray}

Hierbei ist \(({k}^{^{\prime} })=\sqrt{1-{k}^{2}}\).

Zuweilen wird auch die Legendresche Verdopplungsformel als Legendre-Relation bezeichnet.