Lexikon der Mathematik: Legendre-Polynome
die vermöge der Relation
für l ∈ ℕ definierten Polynome vom Grad l.
Es ist mit dieser Definition
sowie Pn(1) = 1. Legendre-Polynome bilden ein vollständiges Orthogonalsystem von Polynomen auf [−1, 1], denn es gilt
Die Legendre-Polynome zu geradem n sind gerade Funktionen, die zu ungeradem n sind ungerade, es gilt also Pn(−x) = (−1)nPn(x) für alle n.
Die Legendre-Polynome erfüllen die Differentialgleichungen
weiterhin gilt die Rekursionsformel
Die Legendre-Polynome lassen sich auch durch die folgende erzeugende Funktion charakterisieren:
Die Legendre-Polynome sind Spezialfälle der Legendre-Funktionen zu ganzzahligem Index n, obwohl man mitunter auch die Funktionen Pn(cos ϕ) unter dem Namen Legendre-Funktionen kennt.
Die Polynome
nennt man auch die zugeordneten Legendre-Polynome. Sie spielen insbesondere in der Quantenmechanik eine Rolle, da man mit ihrer Hilfe die als Kugelflächenfunktionen \({Y}_{n}^{m}\) bezeichnete Eigenbasis des Drehimpulsquadrates und seiner z-Komponente ausdrücken kann.
[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.
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