Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Martingal

auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) definierter, der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in T}\), T ⊆ ℝ, in \({\mathfrak{A}}\) adaptierter reellwertiger stochastischer Prozeß (Xt)tT mit den folgenden Eigenschaften:

  • Für alle tT gilt \begin{eqnarray}E(|{X}_{t}|)\lt \infty.\end{eqnarray}
  • Für alle s, tT mit s< t gilt P-fast sicher \begin{eqnarray}E({X}_{t}|{{\mathfrak{A}}}_{s})={X}_{s},\end{eqnarray} d. h. die bedingte Erwartung von Xt bezüglich der σ-Algebra \({{\mathfrak{A}}}_{s}\) und Xs sind P-fast sicher gleich.

    Die Eigenschaft (ii) wird als die Martingaleigenschaft bezeichnet. Der Prozeß (Xt)tT heißt ein Martingal bezüglich der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in T}\). Handelt es sich bei \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in T}\) speziell um die kanonische Filtration, so nennt man (Xt)tT, ohne Bezug auf die Filtration zu nehmen, auch einfach nur Martingal. In analoger Weise werden die Begriffe des Sub- bzw. des Supermartingals eingeführt. Dazu wird in (ii) lediglich das Symbol „=“ bei der Definition des Submartingals durch „≥“ und bei der Definition des Supermartingals durch „≤“ ersetzt.

    Ein Martingal wird häufig als gerechtes, ein Submartingal als vorteilhaftes und ein Supermartingal als unvorteilhaftes Spiel interpretiert.

    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

    Schreiben Sie uns!

    Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

    Partnerinhalte

    Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.