Berechnung der eindeutig bestimmten inversen MatrixA⁻¹ einer regulären quadratischen Matrix A über dem Körper \({\mathbb{K}}\).

Eine Möglichkeit hierzu besteht darin, die (n × 2n)-Matrix A|I zu bilden (sind M und N zwei Matrizen gleicher Zeilenzahl, so bezeichnet M|N die Matrix, die man durch Anfügen der Matrix N rechts an die Matrix M erhält; I bezeichnet die (n × n)-Einheitsmatrix). Formt man nun die Matrix A|I durch mehrere elementare Zeilenumformungen in eine Matrix der Form I|B um (was im regulären Fall stets möglich ist), so ist B die inverse Matrix zu A, d. h. es gilt AB = BA = I.

Die Inverse einer regulären (2 × 2)-Matrix A = (a_ij) ist explizit gegeben durch \begin{eqnarray}{A}^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{rr}{a}_{22} & -{a}_{12}\\ -{a}_{21} & {a}_{11}\end{array}\right).\end{eqnarray}

Allgemeiner ist die Inverse einer regulären (n×n)-Matrix A = (a_ij) gegeben durch \begin{eqnarray}{A}^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\text{'}};\end{eqnarray} dabei bezeichnet A^′ die zu A komplementäre Matrix ((b_ij)) mit \begin{eqnarray}{b}_{ij}={(-1)}^{i+j}\det {A}_{ji}\end{eqnarray} (A_ji bezeichnet die (n − 1 × n − 1)-Untermatrix von A, die man durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte erhält).

Zur numerischen Berechnung der Inversen einer Matrix A existieren eine Reihe von Verfahren; sie kann beispielsweise mittels des Gauß-JordanVerfahrens durchgeführt werden.