eine totale Ordnung < der Halbgruppe M der Monome eines Polynomenringes 𝕂[x₁, …, x_n], die mit der Halbgruppenstruktur verträglich ist:m, m′, m″ ∈ M und m′ < m″ impliziert mm′ < mm″.

Beispiele für eine Monomenordnung sind die lexikographische Ordnung \({x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\alpha }_{n}}\lt {x}_{1}^{{\beta }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\beta }_{n}},\), wenn es ein i gibt mit α_j = β_j für j < i und α_i< β_i) und die gradlexikographische Ordnung \({x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\alpha }_{n}}\lt {x}_{1}^{{\beta }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\beta }_{n}},\), wenn \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}\lt \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\beta }_{i}\,\,\,\,\text{oder}\,\,\,\,\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\beta }_{i}\end{eqnarray}

und \({x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\alpha }_{n}}\lt {x}_{1}^{{\beta }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\beta }_{n}},\) bezüglich der lexikographischen Ordnung).

Die Monomenordnung ist eine Wohlordnung genau dann, wenn \(1={x}_{1}^{0}\,\ldots \,{x}_{n}^{0}\) das kleinste Monom ist. Oft wird die Bedingung, daß eine Monomenordnung eine Wohlordnung ist, in die Definition mit aufgenommen. Dem soll hier dadurch Rechnung getragen werden, daß wir von Monomenordnungen in diesem Sinne reden, und von lokalen Monomenordnungen, wenn sie nicht notwendig Wohlordnungen sind.

Ein Beispiel für eine lokale Monomenordnung ist die lokale gradlexikographische Ordnung \({x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\alpha }_{n}}\lt {x}_{1}^{{\beta }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\beta }_{n}},\), wenn \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}\lt \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\beta }_{i}\,\,\,\,\text{oder}\,\,\,\,\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\beta }_{i}\end{eqnarray} und \({x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\alpha }_{n}}\lt {x}_{1}^{{\beta }_{1}}\,\ldots \,{x}_{n}^{{\beta }_{n}},\) bezüglich der lexikographischen Ordnung).