die Gleichung A^TAx = A^Tb, deren Lösung x gerade die Lösung des in der Ausgleichsrechnung häufig anzutreffenden linearen Ausgleichsproblems \begin{eqnarray}\mathop{\min }\limits_{x}||Ax-b|{|}_{2},A\in {{\mathbb{R}}}^{m\times n}\end{eqnarray}

ist.

Da A^TA eine symmetrische Matrix ist kann die Normalgleichung mittels des Cholesky-Verfahrens gelöst werden. Bei der Lösung der Normalgleichung können numerische Probleme auftreten, wenn die Konditionszahl der Matrix A^TA sehr groß ist. Die Lösung x hat dann relativ große Fehler. Zudem sind Rundungsfehler bereits bei der Berechnung von A^TA und A^Tb unvermeidlich. Man sollte das lineare Ausgleichsproblem daher mittels der QR-Zerlegung lösen. Dieses Verfahren wird unter Methode der kleinsten Quadrate beschrieben.

die notwendige Bedingung für ein Minimum des obigen Ausdrucks.