Lexikon der Mathematik: Parametrix
funktionalanalytischer Begriff.
Ist T ein Operator eines Banachraums in sich, so heißt S Linksparametrix von T, wenn ST − 1 kompakt ist, und Rechtsparametrix, wenn TS − 1 kompakt ist. S heißt Parametrix, wenn S sowohl Links- als auch Rechtsparametrix ist.
Daneben definiert man speziell für Differential- und Pseudodifferentialoperatoren eine Parametrix auch durch die Forderung, daß TS − 1 und TS − 1 Glättungsoperatoren sind, also aus der Symbolklasse S−∞ stammen. Es läßt sich zeigen, daß hierdurch keine zusätzliche Forderung gestellt wird und eine Parametrix in diesem strengen Sinne mittels einer expliziten Iteration aus einer Parametrix im ersteren Sinne gewonnen werden kann.
Eine Parametrix eines elliptischen Pseudodifferentialoperators T auf einem kompakten Gebiet G
Ein Operator T ist dann und nur dann ein Fredholm-Operator, wenn er eine Parametrix besitzt.
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