Lexikon der Mathematik: Periodenabbildung
Abbildung des Modulraumes in den Raum der Perioden.
Die Periodenabbildung ist für den Modulraum \({{\mathfrak{M}}}_{g}\) der algebraischen Kurven über ℂ vom Geschlecht g wie folgt definiert: Seien w1,…,wg linear unabhängige holomorphe 1–Formen auf X und γ1,…,γ2g eine Basis von H1(X, ℤ). Die Periodenmatrix (Ωij) ist definiert durch
Sie hängt von der Wahl der Basen ab. Zunächst kann man in H1(X, ℤ) die Basis so wählen, daß die Matrix der Schnittform (γi, γj) die Gestalt
Die Abbildung \({{\mathfrak{M}}}_{g}\to {H}_{g}/Sp(2g,{\mathbb{Z}})\), die jeder Kurve \(x\in {{\mathfrak{M}}}_{g}\) die Klasse der Periodenmatrix Z mod Sp(2g, ℤ) zuordnet, heißt Periodenabbildung. Ein klassischer Satz von Torelli besagt, daß die Periodenabbildung injektiv ist.
Mit Hilfe der Hodge–Struktur kann man allgemeiner für Klassen von glatten projektiven Mannigfaltigkeiten die Periodenabbildung definieren und Torelli-Sätze beweisen.
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