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Lexikon der Mathematik: Periodenabbildung

Abbildung des Modulraumes in den Raum der Perioden.

Die Periodenabbildung ist für den Modulraum \({{\mathfrak{M}}}_{g}\) der algebraischen Kurven über ℂ vom Geschlecht g wie folgt definiert: Seien w1,…,wg linear unabhängige holomorphe 1–Formen auf X und γ1,…,γ2g eine Basis von H1(X, ℤ). Die Periodenmatrix (Ωij) ist definiert durch \begin{eqnarray}{{\rm{\Omega }}}_{ij}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\gamma }_{i}}{w}_{j}.\end{eqnarray}

Sie hängt von der Wahl der Basen ab. Zunächst kann man in H1(X, ℤ) die Basis so wählen, daß die Matrix der Schnittform (γi, γj) die Gestalt \begin{eqnarray}Q=\left(\begin{array}{cc}0 & -{I}_{g}\\ {I}_{g} & 0\end{array}\right)\end{eqnarray} hat, wobei Ig die (g × g)-Einheitsmatrix ist. Dann kann man die Basis der 1–Formen so wählen, daß die Periodenmatrix die Gestalt (Z, Ig) hat, ZHg. Dabei ist Hg der obere Siegelsche Halbraum, die Menge aller symmetrischen (g × g)-Matrizen mit Einträgen in ℂ und positiv definitem Imaginärteil. Die Periodenmatrix ist damit modulo der Operation der symplektischen Gruppe Sp(2g, ℤ), die zur Schnittmatrix Q gehört, eindeutig bestimmt. Die symplektische Gruppe \begin{eqnarray}Sp(2g,{\mathbb{Z}})=\left\{\left(\begin{array}{cc}A & B\\ C & D\end{array}\right)\in Gl(2g,{\mathbb{Z}})\,|\,TQ{T}^{t}=Q\right\}\end{eqnarray} operiert für ZHg, TSp(2g, ℤ) durch \begin{eqnarray}T\cdot Z=(AZ+B){(CZ+D)}^{-1}\end{eqnarray} auf Hg.

Die Abbildung \({{\mathfrak{M}}}_{g}\to {H}_{g}/Sp(2g,{\mathbb{Z}})\), die jeder Kurve \(x\in {{\mathfrak{M}}}_{g}\) die Klasse der Periodenmatrix Z mod Sp(2g, ℤ) zuordnet, heißt Periodenabbildung. Ein klassischer Satz von Torelli besagt, daß die Periodenabbildung injektiv ist.

Mit Hilfe der Hodge–Struktur kann man allgemeiner für Klassen von glatten projektiven Mannigfaltigkeiten die Periodenabbildung definieren und Torelli-Sätze beweisen.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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