Lexikon der Mathematik: Permutationsgruppe
Gruppe der Bijektionen einer endlichen Menge, weitestgehend synonym zum Begriff symmetrische Gruppe.
Typischerweise wird diese endliche Menge Mn der Mächtigkeit n mit {1, 2,…,n} bezeichnet, und eine Bijektion von Mn ist eine eineindeutige Abbildung π : Mn → Mn, also eine Permutation. Bezüglich der Nacheinanderausführung von Abbildungen bilden diese Permutationen eine Gruppe, die Permutationsgruppe Sn. Die Ordnung von Sn ist n! ‚ nur für n ≤ 2 ist Sn eine zyklische Gruppe.
Jede endliche Gruppe ist als Untergruppe einer Permutationsgruppe darstellbar.
Die Menge derjenigen Permutationen, die das Produkt aus einer geraden Anzahl von Transpositionen darstellt, ist eine Untergruppe von Sn. Sie wird alternierende Gruppe genannt und mit An bezeichnet. Die Ordnung von An ist halb so groß wie die Ordnung von Sn, nämlich n!/2.
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