Problem, das die Entwicklung der Funktionentheorie mehrer komplexer Variabler bahnbrechend beeinflußt hat.

Bereits 1883 zeigte H. Poincarè, daß jede im ℂ² meromorphe Funktion der Quotient zweier im ℂ² holomorpher Funktionen ist. Der Körper \({\mathcal{M}}\)(ℂ²) ist also der Quotientenkörper des Ringes 𝒪(ℂ²). Man sagt allgemein, daß für einen komplexen Raum X der Satz von Poincarè gilt, wenn \({\mathcal{M}}\) (X) der Quotientenring von 𝒪 (X) bzgl. der Menge der Nichtnullteiler von 𝒪 (X) ist.

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit, in der das Cousin-II-Problem universell lösbar ist. Dann gilt für X der Satz von Poincarè in folgender scharfen Form:

Jede meromorphe Funktion h ∈ \({\mathcal{M}}\) (X), h ≠ 0, ist der Quotient \(\frac{f}{g}\,\)zweier holomorpher Funktionen f, g ∈ 𝒪 (X), deren Keime f_x, g_x ∈ 𝒪_x im ( faktoriellen) Ring 𝒪_x stets teilerfremd sind, x ∈ X.

Beispielsweise ist für jede Steinsche Mannigfaltigkeit X mit H² (X, ℤ) = 0 das zweite Cousin-Problem universell lösbar, und daher gilt für X der Satz von Poincarè in der scharfen Form. Man kann zeigen, daß der Satz von Poincarè für jede Steinsche Mannigfaltigkeit gilt.