eigentlich genauer nichtnegativer Operator, ein selbstadjungierter stetiger Operator T auf einem Hilbertraum H mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\langle Tx,x\rangle \ge 0 \,\,\,\,\,\, \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ \text{alle}\ x\in H.\end{eqnarray} Für komplexe Hilberträume folgt die Selbstadjungiertheit von T schon aus (1).

Die Menge der positiven Operatoren auf H wird mit L(H)₊ bezeichnet. Für T ∈ L(H)₊ schreibt man auch T ≥ 0 und definiert durch \begin{eqnarray}S\le T:\iff T-S\ge 0\end{eqnarray} eine Halbordnung ≤ auf L(H)₊. Jede bzgl. ≤ isotone und bzgl. der Operatornorm beschränkte Folge in L(H)₊ konvergiert punktweise gegen ein Element von L(H)₊.

Jedes T ∈ L(H)₊ erfüllt für alle x, y ∈ H die Cauchy-Ungleichung \begin{eqnarray}{|\langle Tx,x\rangle |}^{2} & \le & \langle Tx,x\rangle \langle Ty,y\rangle.\end{eqnarray} Beispielsweise sind orthogonale Projektoren positiv, und für jedes T ∈ L(H) sind die Operatoren T*T und TT* positiv. Jede Linearkombination positiver Operatoren mit nicht-negativen Koeffizienten ist positiv. Ferner ist jede Potenz Tⁿ eines positiven Operators T positiv. Somit ist auch jedes Operator-polynom (Linearkombination von Potenzen) eines positiven Operators mit nicht-negativen Koeffizienten positiv. Das Inverse eines bijektiven positiven Operators ist positiv.

In komplexen Hilberträumen sind beschränkte Operatoren genau dann positiv, wenn sie selbstadjungiert sind und ihr Spektrum in [0, ∞) liegt. Aus der Spektraltheorie ergibt sich, daß man die Wurzel eines positiven Operators bilden kann.