Lexikon der Mathematik: pseudoorthogonale Gruppe
die Untergruppe O(B) ⊂ GL(n, ℝ) aller linearen Transformationen f : ℝn → ℝn, die eine gegebene nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform B : ℝn × ℝn → ℝ invariant lassen.
Eine lineare Transformation α ∈ GL(n, ℝ) gehört genau dann zu O(B), wenn B(α(\({{\mathfrak{x}}}\)), α(𝔶)) = B(x, y) für alle x, y ∈ ℝn gilt.
Man kann zu einer pseudoorthonormierten Basis von ℝn übergehen und voraussetzen, daß B die Gestalt
hat, wobei k der Index von B ist. Ist 𝒟k die Diagonalmatrix
und setzt man voraus, daß die kanonische Basis 𝔢1, …, 𝔢n von ℝn pseudoorthonormiert bezüglich B ist, was sich durch einen Basiswechsel stets erreichen läßt, so ist B durch B(\({{\mathfrak{x}}}\), 𝔶) = \({{\mathfrak{x}}}\)⊤ 𝒟k 𝔶 als Matrizenprodukt gegeben, wenn \({{\mathfrak{x}}}\), 𝔶 ∈ ℝn als Spaltenmatrizen angesehen werden. Ist ferner A die Matrix der linearen Transformation α ∈ GL(n, ℝ), so gilt α(\({{\mathfrak{x}}}\)) = 𝒜 \({{\mathfrak{x}}}\), und B(α(\({{\mathfrak{x}}}\)), α(𝔶)) = B(\({{\mathfrak{x}}}\), 𝔶) ist gleichwertig zu der Beziehung
Die Gruppe der Matrizen, die die Gleichung (1) erfüllen, wird pseudoorthogonale Gruppe genannt und mit O(n, k) bezeichnet. Die Elemente von O(n, k) heißen pseudoorthogonale Matrizen. Die Untergruppe SO(n, k) ⊂ O(n, k) der Matrizen A mit det(𝒜) = 1 heißt spezielle pseudoorthogonale Gruppe. SO(2, 1) besteht z. B. aus allen Matrizen
Die pseudoorthogonale Gruppe einer jeden nicht ausgearteten symmetrischen Bilinearform B vom Index k auf einem beliebigen n-dimensionalen reellen Vektorraum V ist zu O(n, k) isomorph.
O(n, k) und SO(n, k) sind reelle Lie-Gruppen der gleichen Dimension \(\frac{n(n-1)}{2}\), und SO(n, k) ist eine bezüglich der Toplogie von O(n, k) sowohl offene als auch abgeschlossene Untergruppe
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