eine Basis eines pseudoeuklidischen oder pseudounitären RaumesV, deren Vektoren paarweise zueinander senkrecht sind und die Länge 1 oder −1 haben.

Wir beschränken uns auf den pseudoeuklidischen Fall. Es sei \({{\mathfrak{x}}}\), 𝔶 ∈ V → ⟨\({{\mathfrak{x}}}\), 𝔶⟩ ∈ ℝ das Skalarprodukt von V und k der Index von ⟨.,.⟩. In dem durch eine pseudoorthonormierte Basis 𝔢₁, …, 𝔢_n definierten Koordinatensystem \({\mathfrak{x}}=\displaystyle \sum {x}_{i}{{\mathfrak{e}}}_{i}\in V\to ({x}_{1},\mathrm{...},{x}_{n})\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) gilt dann bei passender Wahl der Reihenfolge der Vektoren 𝔢_i\begin{eqnarray}\langle {\mathfrak{x}},{\mathfrak{y}}\rangle =\displaystyle \sum _{i=1}^{n-k}{x}_{i}{y}_{j}-\displaystyle \sum _{j=n-k+1}^{n}{x}_{i}{y}_{j}.\end{eqnarray}

Aus dem Skalarprodukt ⟨.,.⟩ abgeleitete geometrische Größen und Beziehungen werden in diesem Koordinatensystem durch besonders einfache Ausdrücke und Gleichungen beschrieben. Zunächst sind die Koordinaten von \({{\mathfrak{x}}}\) ∈ V durch x_i = ± ⟨\({{\mathfrak{x}}}\), 𝔢_i⟩ gegeben, wobei das positive Vorzeichen für i = 1, …, n − k gilt.

Für das Quadrat der pseudoeuklidischen Länge \({|{\mathfrak{x}}|}\) eines Vektors \({{\mathfrak{x}}}\) = (x₁, …, x_n)^⊤ gilt die Gleichung \begin{eqnarray}|{\mathfrak{x}}{|}^{2}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n-k}{x}_{i}^{2}-\displaystyle \sum _{j=n-k+1}^{n}{x}_{j}^{2}.\end{eqnarray}

Ist schließlich U^m ⊂ V ein m-dimensionaler linearer Unterraum derart, daß die Einschränkung von ⟨.,.⟩ auf U nicht ausgeartet ist, so gibt es immer eine angepaßte pseudoorthonormierte Basis 𝔣₁, …, 𝔣_m, 𝔣_m+1, …, 𝔣_n von V, d. h., eine Basis derart, daß die ersten m Vektoren 𝔣₁, …, 𝔣_m eine pseudoorthonormierte Basis von U^m bilden. Die orthogonale Projektion p_U (\({{\mathfrak{x}}}\)) eines Vektors \({{\mathfrak{x}}}\) ∈ V auf U erhält man aus \begin{eqnarray}{p}_{U}({\mathfrak{x}})=\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\pm \langle {\mathfrak{x}},{{\mathfrak{f}}}_{i}\rangle {{\mathfrak{f}}}_{i},\end{eqnarray}

wobei in dieser Summe die Vorzeichen durch die Vorzeichen von ⟨𝔣_i, 𝔣_i⟩ gegeben sind.