Lexikon der Mathematik: reguläre Folge
algebraischer Begriff.
Sei A ein kommutativer Ring, M ein Noetherscher A-Modul, und sei (f1, …, fn) eine Folge von Elementen aus A, die in jedem Maximalideal von A enthalten ist. Die Folge heißt M-regulär, wenn für alle i = 1,…,n die Abbildung
Diese Eigenschaft hängt aufgrund der folgenden Charakterisierung nicht von der Reihenfolge der Elemente ab: Eine Folge (f1, …, fn) = s interpretieren wir als Element des freien A-Moduls E = An. Ein solches Element definiert einen Kokettenkomplex
Dann sind äquivalent:
- Hp(K•(S, M)) = 0 für alle p ≥ 1.
- (f1, …, fn) ist eine reguläre Folge in der Lokalisierung Mm für jedes Maximalideal 𝔪 mit f1, …, fn ∈ 𝔪.
In diesem Sinne läßt sich der Begriff reguläre Folge auch für Schnitte s von Vektorbündeln ϵ auf einem Schema X verallgemeinern: Wenn \( {\mathcal M} \) eine kohärente Garbe auf X ist, so heißt s \( {\mathcal M} \)-regulärer Schnitt, wenn \({ {\mathcal H} }_{p}({{\mathcal{K}}}_{0}(s, {\mathcal M} ))=0\) für alle p ≥ 1 \((\text{mit}\ \text{}\text{}\ \text{}\text{}\ ({{\mathcal{K}}}_{\bullet }(s, {\mathcal M} )=\text{Hom}(({{\mathcal{K}}}^{\bullet },M),\) wobei
Etwas verkürzt, aber eingängig, kann man eine reguläre Folge auch definieren als eine Folge von Nichteinheitenf1, …, fk in einem kommutativen Ring R so, daß die Klasse von fi in R/(f1, …, fi−1) ein Nichtnullteiler ist.
Im Polynomring K[x1, …, xn] über dem Körper K ist beispielsweise x1, …, xn eine reguläre Folge.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.