Funktion, die einem lokalen Ring \(\begin{eqnarray}{{\mathfrak{m}}}\end{eqnarray}\) mit Maximalideal m für jede natürliche Zahl n die Länge von \(\begin{eqnarray}R/{{\mathfrak{m}}}^{n}\end{eqnarray}\) zuordnet: \begin{eqnarray}H{S}_{R}(n)=l(R/{{\mathfrak{m}}}^{n}).\end{eqnarray} Wenn \begin{eqnarray}S:={\text{Gr}}_{{\mathfrak{m}}}(R)=\mathop{\mathop{\oplus }_{\infty }\limits^{i=0}}{{\mathfrak{m}}}^{i}/{{\mathfrak{m}}}^{i+1}\end{eqnarray} der assoziierte graduierte Ring von R ist, und H_S die Hilbert-Funktion von S, \({H}_{S}(n)={\dim }_{R/{\mathfrak{m}}}{{\mathfrak{m}}}^{n}/{{\mathfrak{m}}}^{n+1}\), dann gilt \begin{eqnarray}H{S}_{R}(n+1)=H{S}_{R}(n)={H}_{S}(n).\end{eqnarray} Die Samuel-Funktion wird deshalb auch oft HilbertSamuel-Funktion genannt.

Die Samuel-Funktion kann für große Werte von n durch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten, das Samuel-Polynom (oder auch Hilbert-Samuel-Polynom) HSP_R gegeben werden: HSP_R(n) = HS_R(n) für n ≥ 0. Der Grad d des Samuel-Polynoms ist gleich der Dimension von R. Der höchste von Null verschiedene Koeffizient a_d von HSP_R ist positiv, und da_d ist eine ganze Zahl, die Multiplizität von R.

Wenn zum Beispiel \(R=K[[x, y]]/({y}^{2}-{x}^{3})\) der Faktorring des formalen Potenzreihenrings nach dem durch y² − x³ erzeugten Ideal ist, ist HSP_R(n) = 2n − 1. Ist R = K[[x₁,…,x_d]], so gilt \(\begin{eqnarray}{\text{HSP}}_{R}(n)=\left(\begin{array}{c}n+d-1\\ d\end{array}\right)\end{eqnarray}\).

Man kann die Samuel-Funktion auch für R-Moduln definieren, \({\text{HS}}_{M}(n)=\ell (M/{{\mathfrak{m}}}^{n}M)\), und es gibt auch hier ein Samuel-Polynom.