Lexikon der Mathematik: Ideal
ein Teilmenge ℐ eines kommutativen Rings
- Für x, y ∈ ℐ ist x + y ∈ ℐ.
- Für x ∈ ℐ und beliebiges r ∈ ℛ ist rx ∈ ℐ.
Zum Beispiel ist die Menge aller geraden Zahlen ein Ideal in ℤ.
Ist eine Familie (xi )i∈I von Elementen
Die Menge
Ein Ideal
Die Motivation für den Begriff „Ideal“ bildet nun der Wunsch, das Bild einer idealen Zahlλ eines algebraischen Zahlkörpers K in dessen Ganzheitsring
Der Begriff „Ideal“ hat sich auch außerhalb der algebraischen Zahlentheorie als sehr fruchtbar erwiesen, beispielsweise werden Ideale auch in allgemeinen (auch nicht kommutativen) Ringen, etwa in Funktionenringen oder Operatoralgebren, studiert.
Ist der Ring nicht kommutativ, hängt die Definition davon ab, von welcher Seite man das Ringelement heranmultipliziert. Wenn man nur fordert ra ∈ I, erhält man linksseitige Ideale, analog rechtsseitige Ideale, falls man ar ∈ I fordert. Ideale, die beide Eigenschaften haben, heißen zweiseitige Ideale.
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