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Lexikon der Mathematik: Schauder-Basis

eine Folge b1, b2,… eines separablen Banachraums X so, daß jedes Element xX auf eindeutige Weise als konvergente Reihe \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}x=\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\beta }_{j}(x){b}_{j}\end{array}\end{eqnarray} mit gewissen von x abhängigen Skalaren βj(x) geschrieben werden kann; die Koeffizientenfunktionale sind dann notwendig stetig. Konvergiert (1) unbedingt, spricht man von einer unbedingten Schauder-Basis. Eine Orthonormalbasis eines separablen Hilbertraums ist eine unbedingte Schauder-Basis. In den Folgenräumen p, 1 ≤ p< ∞, und c0 bilden die Einheitsvektoren en = (0,…,0, 1, 0, …), in der die 1 an der n-ten Stelle steht, eine unbedingte Schauder-Basis. Die Funktionenräume Lp [0, 1], 1 ≤ p< ∞, und C[0, 1] besitzen Schauder-Basen, im Fall 1 < p< ∞ sogar unbedingte Schauder-Basen. Ein Beispiel ist das System der Haar-Funktionen (Haar-Basis); unbedingte Basen von Lp aus Funktionen höherer Glattheit kann man mit Hilfe glatter Wavelets gewinnen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Schauder-Basis
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Das Schaudersche Funktionensystem in C[0, 1]

Schauder konstruierte 1927 folgende Schauder-Basis des Banachraums C[0, 1] (Schaudersches Funktionensystem): Es ist f1(t) = 1, f2(t) = t, und die weiteren Basisfunktionen sind „Dreiecksfunktionen“; ihr Bildungsgesetz ist den Graphen von f3, …,f8 zu entnehmen.

Nicht jeder separable Banachraum hat eine Schauder-Basis, jedoch gibt es stets einen unendlichdimensionalen Unterraum mit einer Schauder-Basis. Ein Beispiel von Gowers und Maurey (1993) zeigt hingegen, daß es nicht notwendig einen unendlichdimensionalen Unterraum mit einer unbedingten Basis gibt.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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