die Kugel S_P, die eine gegebene reguläre Raumkurve \({\mathscr{K}}\) in einem Punkt \(P\in {\mathscr{K}}\) von dritter Ordnung berührt.

Man geht von einer Parameterdarstellung α(s) von \({\mathscr{K}}\) aus, in der s die Bogenlänge ist. Die Schmiegkugel ist dann durch ihren Radius R und ihren Mittelpunkt M ∈ ℝ³ durch die Gleichung \begin{eqnarray}\langle {\mathfrak{x}}-M,\,{\mathfrak{x}}-M\rangle ={R}^{2}\end{eqnarray}

Analytisch ist die Berührung dritter Ordnung zwischen S_p und α(s) in einem Punkt P = α(s₀) dadurch erklärt, daß die Funktion f (s) = ⟨α(s) − M, α(s) − M⟩−R² zusammen mit ihren Ableitungen bis zur Ordnung drei im Punkt s₀ verschwindet. Das führt auf vier Bestimmungsgleichungen für den Radius R und die drei Koordinaten von M. Man erhält das folgende Resultat:

Es seien κ(s) undτ(s) die Funktionen der Krümmung bzw. Windung einer Raumkurveα(s), sowie \({\mathfrak{n}}(s)\)und \({\mathfrak{b}}(s)\)ihr Haupt- bzw. Binormalenvektorfeld.

Dann sind der Mittelpunkt M und der Radius R der Schmiegkugel im einem Punkt P = α(s₀) mitκ(s₀) ≠ 0 undτ(s₀) ≠ 0 durch\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}M & = & \alpha ({s}_{0})+\frac{{\mathfrak{n}}({s}_{0})}{\kappa ({s}_{0})}-\frac{{\kappa }^{\prime}({s}_{0})\,{\mathfrak{b}}({s}_{0})}{{\kappa }^{2}({s}_{0})\,\tau ({s}_{0})},\\ {R}^{2} & = & \frac{1}{{\kappa }^{2}({s}_{0})}+{\left(\frac{{\kappa }^{\prime}({s}_{0})}{{\kappa }^{2}({s}_{0})\,\tau ({s}_{0})}\right)}^{2}\end{array}\end{eqnarray}gegeben.

Die durch den Mittelpunkt M der Schmiegkugel gehende und zur Schmiegebene von α(s) im Punkt s₀ senkrechte Gerade geht durch den Mittelpunkt des Schmiegkreisesα(s) im Punkt s₀. Sie heißt Krümmungsachse der Kurve.

Die Tangente an die von den Mittelpunkten M(s) der Schmiegkugeln S_α(s) gebildete Kurve stimmt mit der Krümmungsachse überein, und M(s) ist die Einhüllende der 1-parametrischen Familie der Krümmungsachsen.