zeigt, daß für auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\) definierte reelle Zufallsvariablen \({({X}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}},{({Y}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\) und X aus der Konvergenz in Verteilung \({X}_{n}\mathop{\to}\limits^{d}X\) und der stochastischen Konvergenz \({Y}_{n}\mathop{\to}\limits^{P}c\) gegen eine Konstante c für eine Funktion \(h:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) unter gewissen Voraussetzungen auch die Konvergenz in Verteilung \(h({X}_{n},{Y}_{n})\mathop{\to}\limits^{d}h(X,c)\) folgt.

Der Satz lautet:

Gilt \({X}_{n}\mathop{\to}\limits^{d}X\)und \({Y}_{n}\mathop{\to}\limits^{P}c\)für ein \(c\in {\mathbb{R}}\), so folgt\begin{eqnarray}h({X}_{n},{Y}_{n})\mathop{\to}\limits^{d}h(X,c)\end{eqnarray}für jede meßbare Funktion \(h:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\)mit\begin{eqnarray}{\mathbb{R}}\times (c-\varepsilon, c+\varepsilon)\subseteq {C}_{h}\end{eqnarray}für ein ε > 0, wobei C_h die Menge der Stetigkeitspunkte von h bezeichnet.

Unter den Voraussetzungen des Satzes folgt also z. B. \({X}_{n}+{Y}_{n}\mathop{\to}\limits^{d}X+c\) und \({X}_{n}{Y}_{n}\mathop{\to}\limits^{d}cX\).

Allgemeiner kann man für metrische Räume (S, d) und (S′, d′) mit den von den jeweiligen Metriken induzierten Topologien und den zugehörigen Borelschen σ-Algebren \({\mathfrak{B}}(S)\) und \({\mathfrak{B}}({S}{^{\prime}})\) zeigen, daß für auf \({\mathfrak{B}}(S)\) definierte Wahrscheinlichkeitsmaße \({({P}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\) und P aus der schwachen Konvergenz P_n ⇒ P auch für jede meßbare Abbildung h : S → S′ die schwache Konvergenz Q_n ⇒ Q der zugehörigen Bildmaße mit \begin{eqnarray}{Q}_{n}({B}{^{\prime}})={P}_{n}({h}^{-1}({B}{^{\prime}}))\quad \text{bzw}\text{.}\quad {Q}({B}{^{\prime}})=P({h}^{-1}({B}{^{\prime}}))\end{eqnarray} für alle \({B}{^{\prime}}\in {\mathfrak{B}}({S}{^{\prime}})\) folgt, sofern P(D_h) = 0 für die Menge D_h der Unstetigkeitsstellen von h gilt.