Banach- und Hilberträume von im verallgemeinerten Sinn differenzierbaren Funktionen.

Im folgenden seien 1 ≤ p< ∞, m ∈ ℕ und Ω ⊂ ℝ^d eine offene Menge. Der Sobolew-Raum W^m,p(Ω) besteht aus allen L^p-Funktionen auf Ω, deren Distributionen- oder schwache Ableitung D^αf für jeden Multiindex α der Ordnung |α| ≤ m ebenfalls zu L^p(Ω) gehört. Dabei sagt man, eine lokal integrierbare Funktion g sei die α-te schwache Ableitung von f, falls \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\Omega}g\cdot \varphi ={(-1)}^{|\alpha |}\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\Omega}f.{D}^{\alpha}\varphi & {\forall}_{\varphi}\in {C}_{0}^{\infty}\end{array}(\Omega)\end{eqnarray} gilt. Solch eine Funktion g ist fast überall eindeutig bestimmt, und ist f klassisch differenzierbar, so erfüllt g = D^αf die Gleichung (1); daher benutzt man dasselbe Symbol für die schwache Ableitung. Zum Beispiel besitzt die Betragsfunktion f(x) = |x| auf ℝ die schwache Ableitung f′(x) = sgn(x).

Die Sobolew-Räume werden durch \begin{eqnarray}||f|{|}_{m,p}={\left(\sum _{|\alpha |\le m}||{D}^{\alpha}f|{|}_{{L}^{p}}^{p}\right)}^{1/p}\end{eqnarray} normiert, und bzgl. dieser oder dazu äquivalenter Normen bilden die W^m,p (Ω) Skalen von Banachräu- men, die für p > 1 reflexiv und im Fall p = 2 Hilberträume sind; statt W^m,2(Ω) ist auch die Bezeichnung H^m(Ω) geläufig. Der Raum der m-mal klassisch differenzierbaren Funktionen f auf Ω mit endlicher Sobolew-Norm ||f||_m,p liegt stets dicht in W^m,p(Ω); ist Ω glatt berandet (schwächere Voraussetzungen würden reichen), gilt dies sogar für den Raum der Restriktionen f_|Ω von Testfunktionen \(f\in {C}_{0}^{\infty}({{\mathbb{R}}}^{d})\).

Das Sobolew-Lemma (auch als Einbettungssatz von Sobolew bekannt) besagt, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{W}^{m,p}(\Omega)\subset {C}^{k}(\Omega), & \text{falls}\quad m-\displaystyle\frac{d}{p}\end{array}\gt k,\end{eqnarray} und insbesondere \begin{eqnarray}\mathop{\bigcap}\limits_{m\in {\mathbb{N}}}{W}^{m,p}(\Omega)\subset {C}^{\infty}(\Omega).\end{eqnarray} Dieser Satz ist von großer Bedeutung in der Regularitätstheorie elliptischer Differentialgleichungen.

Um Randwertprobleme behandeln zu können, führt man den Sobolew-Raum \({W}_{0}^{m,p}(\Omega)\) ein, der als Abschluß von \({C}_{0}^{\infty}(\Omega)\) in W^m,p (Ω) definiert ist. Auf \({W}_{0}^{m,p}(\Omega)\) definiert \begin{eqnarray}|f{|}_{m,p}={\left(\sum _{|\alpha |\le m}||{D}^{\alpha}f|{|}_{{L}^{p}}^{p}\right)}^{1/p}\end{eqnarray} eine zur Norm aus (2) äquivalente Norm, falls Ω beschränkt ist; mit anderen Worten gilt dann \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\parallel f{\parallel}_{m,p}\le C|f{|}_{m,p} & \forall f\in {W}_{0}^{m,p}(\Omega)\end{array}.\end{eqnarray} Diese Ungleichung ist als Poincaré-Friedrichs-Ungleichung bekannt.

Nach dem Einbettungssatz von Rellich-Kondratschow ist für beschränkte Mengen Ω der identische Einbettungsoperator von \({W}_{0}^{m,p}(\Omega)\) nach L^p(Ω) kompakt; ist Ω glatt berandet (wieder genügen schwächere Bedingungen), gilt dies auch für die Einbettung von W^m,p(Ω) nach L^p(Ω).

Man interpretiert die Elemente von \({W}_{0}^{m,p}(\Omega)\) als solche W^m,p-Funktionen, die auf dem Rand von Ω „verschwinden“. Da jedoch f ∈ W^m,p(Ω) ⊂ L^p (Ω) eigentlich eine Äquivalenzklasse von meßbaren Funktionen ist, ist die Restriktion von f auf eine niederdimensionale Mannigfaltigkeit a priori nicht definiert. Ist aber der Rand der beschränkten Menge Ω hinreichend glatt, so kann gezeigt werden, daß der Einschränkungsoperator f ↦ f_|∂Ω von \({C}^{m}(\bar{\Omega})\) nach C(∂Ω) bzgl. der Normen von W^m,p(Ω) bzw. L^p(∂Ω) stetig ist und deshalb zu einem stetigen Operator \begin{eqnarray}R:{W}^{m,p}(\Omega)\to {L}^{p}(\partial \Omega)\end{eqnarray} fortgesetzt werden kann. Für \(f\in {W}_{0}^{m,p}(\Omega)\) gilt offensichtlich f_|∂Ω = 0 in dem Sinn, daß Rf = 0 ist; in der Tat gilt sogar (D^αf)_|∂Ω = 0 für alle Multiindizes der Ordnung |α| ≤ m − 1.

Sobolew-Räume können auch mit Hilfe der Fourier-Transformation charakterisiert werden; am durchsichtigsten gelingt das im Fall p = 2 und Ω = ℝ^d, also für H^m = H^m(ℝ^d) = W^{m, 2}(ℝ^d). Es gilt nämlich \begin{eqnarray}{H}^{m}=\{f\in {L}^{2}({{\mathbb{R}}}^{d}):{(1+|x{|}^{2})}^{m/2}\hat{f}\in {L}^{2}({{\mathbb{R}}}^{d})\},\end{eqnarray} wobei \(\hat{f}\) die Fourier-Transformierte von f bezeichnet. (3) eröffnet die Möglichkeit, H^m(ℝ^d) für beliebige reelle m ≥ 0 zu definieren, und wenn man statt der Grundmenge f ∈ L²(ℝ^d) auf der rechten Seite von (3) den Raum der temperierten Distributionen \({{\mathcal{S}}}{^{\prime}}{({\mathbb{R}})}^{d}\) nimmt, sogar für beliebige m ∈ ℝ. Andere Verallgemeinerungen der Sobolew-Räume sind die Besow-Räume, die durch Interpolation (Interpolationstheorie auf Banachräumen) der Sobolew- Räume entstehen.

[1] Adams, R.A.: Sobolev Spaces. Academic Press London/Orlando, 1975.
[2] Folland, G.B.: Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press, 1995.