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Lexikon der Mathematik: Spektralschar

eine Funktion F auf ℝ, deren Werte Orthogonalprojektionen auf einem Hilbertraum H sind, mit folgenden Eigenschaften:

  1. limλ→−∞F(λ)x = 0, limλ→∞F(λ)x = xxH,
  2. F(λ) ≤ F(μ) für λ ≤ μ,
  3. limε→0+ (F(λ + ε) − F(λ))x = 0 ∀xH.
Mit anderen Worten ist F monoton wachsend und rechtsseitig stetig. Existieren λ0 und λ1 mit F0) = 0 und F1) = Id, so sagt man, F habe einen kompakten Träger.

Die Integration bzgl. einer Spektralschar, \begin{eqnarray}T=\mathop{\int}\limits_{{\mathbb{R}}}f(\lambda)dF(\lambda),\end{eqnarray} wird durch das Stieltjes-Integral \begin{eqnarray}\langle Tx,x\rangle =\mathop{\mathop{\int}\limits^{\infty}}\limits_{-\infty}f(\lambda)d\langle F(\lambda),x,x\rangle \end{eqnarray} erklärt. Siehe auch Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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