auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,\({\mathfrak{A}}\)P) definierter und einer Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) in \({\mathfrak{A}}\) adaptierter progressiv meßbarer stochastischer Prozeß (X_t)_t≥0 mit dem Zustandsraum \(({{\mathbb{R}}}^{d},{\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{d})),d\in {\mathbb{N}},\) welcher die Eigenschaft besitzt, daß für jede Optionszeit S (Stoppzeit) bezüglich \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) und alle \(B\in {\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{d})\) die Gleichheit \begin{eqnarray}P({X}_{S+t}\in B|{{\mathfrak{A}}}_{S+})=P({X}_{S+t}\in B|{X}_{S})\end{eqnarray} P-fast sicher auf der Menge {S< ∞} gilt. Dabei wird {X_S+t ∈ B} als Kurzschreibweise für das Ereignis {S< ∞,X_S+t ∈ B} verwendet, d.h. die bedingten Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf das letztgenannte Ereignis. Die Abbildungen X_S+t und X_S sind durch X_S+t(ω) := X_S(ω)+t(ω) bzw. X_S(ω):= X_S(ω)(ω) für alle ω ∈ Ω definiert. Die auf der linken Seite der Gleichung auftretende sogenannte σ-Algebra der Ereignisse unmittelbar nach der Optionszeit S ist durch \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}_{S+}:=\{A\in {\mathfrak{A}}:A\cap \{S\le t\}\in {{\mathfrak{A}}}_{t+}furallet\ge 0\}\end{eqnarray} definiert, wobei \({{\mathfrak{A}}}_{S+}:={\cap}_{\varepsilon \gt 0}{{\mathfrak{A}}}_{t+\varepsilon}\) für jedes t ≥ 0 die sogenannte σ-Algebra der Ereignisse unmittelbar nach t bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite der Gleichung wird bezüglich der σ-Algebra bedingt, welche aus allen Mengen der Form {X_S ∈ A} oder {X_S ∈ A} ∪ {S = ∞} mit A ∈ \({\mathfrak{B}}\)(ℝ^d) besteht. Die einen starken Markow-Prozeß definierende Eigenschaft wird als starke oder auch strenge Markow-Eigenschaft bezeichnet. Anschaulich bedeutet die starke Markow-Eigenschaft, daß das „Markow-Prinzip“ einer bei bekannter Gegenwart von der Vergangenheit unabhängigen Zukunft nicht nur für feste Zeitpunkte, sondern auch für bestimmte zufällige Zeiten gilt.

Es existieren mehrere äquivalente Charakterisierungen der starken Markow-Eigenschaft, die auch alternativ zu der hier angegebenen Form bei der Definition des starken Markow-Prozesses verwendet werden. Jeder starke Markow-Prozeß ist ein Markow-Prozeß, nicht aber umgekehrt.

[1] Karatzas, I.; Shreve, S. E.: Brownian motion and stochastic calculus (2. Aufl.). Springer New York, 1991.