Lexikon der Mathematik: Markow-Prozeß
auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) definierter, der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in I}\) in \({\mathfrak{A}}\) adaptierter stochastischer Prozeß (Xt)t∈I mit Zustandsraum ℝn, welcher die Eigenschaft
Interpretiert man den Prozeß (Xt)t∈I dahingehend, daß die Zufallsvariable Xt für jedes t ∈ I die Position eines sich im Raum bewegenden Teilchens zum Zeitpunkt t angibt, so bedeutet die elementare Markow-Eigenschaft anschaulich, daß die zukünftige Position des Teilchens ausschließlich von seiner gegenwärtigen Position, nicht aber von den Positionen abhängt, an denen es sich in der Vergangenheit befand.
In Verallgemeinerung des Begriffes der eindimensionalen Diffusion wird ein Markow-Prozeß (Xt)t≥0 mit Zustandsraum ℝd und Übergangsfunktion P(s, x; t, B) als Diffusion oder Diffusionsprozeß bezeichnet, wenn eine Abbildung \(b:{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\times {{\mathbb{R}}}^{d}\to {{\mathbb{R}}}^{d}\) und eine Abbildung \(a:{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\times {{\mathbb{R}}}^{d}\to {{\mathbb{R}}}^{d\times d}\) mit den folgenden Eigenschaften existieren:
Für jedes x ∈ ℝd und jede beschränkte offene Umgebung Ux von x gilt
Der Vektor b(t, x) wird als Driftvektor der Diffusion und die Matrix a(t, x) als Diffusions- oder Kovarianzmatrix bezeichnet.
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