universeller Markow-Prozeß, Verallgemeinerung des Begriffes des Markow-Prozesses.

Es sei \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}})\) ein meßbarer Raum, \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\) eine Filtration in \({\mathfrak{A}}\) und (X_t)_t∈[0,∞) ein an \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\) adaptierter stochastischer Prozeß mit Werten in ℝⁿ. Weiterhin sei \({({P}^{x})}_{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}}\) eine Familie von auf \({\mathfrak{A}}\) definierten Wahrscheinlichkeitsmaßen. Man nennt den Prozeß (X_t)_t∈[0,∞) zusammen mit der Familie \({({P}^{x})}_{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}}\) eine n-dimensionale Markow-Familie und schreibt kurz \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},{({P}^{x})}_{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}},{({X}_{t},{{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0})\), bzw. bei Verwendung der kanonischen Filtration \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},{({P}^{x})}_{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}},{({X}_{t})}_{t\ge 0})\), wenn diefolgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Für alle \(A\in {\mathfrak{A}}\) ist die Abbildung \begin{eqnarray}{f}_{A}:{{\mathbb{R}}}^{n}\ni x\to {P}^{x}(A)\in [0,1]\end{eqnarray} bezüglich der Borelschen σ-Algebren \({\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) und \({\mathfrak{B}}([0,1])\) meßbar.
2. Für alle x ∈ ℝⁿ gilt P^x(X₀ = x) = 1.
3. Für alle x ∈ ℝⁿ, alle s, \(t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) und alle \(B\in {\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) gilt P^x-fast sicher \begin{eqnarray}{P}^{x}({X}_{s+t}\in B|{{\mathfrak{A}}}_{s})={P}^{{X}_{s}}({X}_{t}\in B),\end{eqnarray} wobei die Abbildung auf der rechten Seite durch \begin{eqnarray}{\rm{\Omega }}\ni \omega \to {P}^{{X}_{s}(\omega )}({X}_{t}\in B)\in [0,1]\end{eqnarray} definiert ist.

Die Eigenschaft (c) wird als die schwache MarkowEigenschaft bezeichnet. Für jedes x ∈ ℝⁿ ist dann (X_t)_t∈[0,∞) im üblichen Sinne ein der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\) adaptierter Markow-Prozeß auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},{P}^{x})\). Manche Autoren schwächen die Forderung der Meßbarkeit bezüglich der Borelschen σ-Algebren in (a) dahingehend ab, daß sie für jedes \(A\in {\mathfrak{A}}\) lediglich die sogenannte universelle Meßbarkeit der Abbildung f_A verlangen. Damit ist gemeint, daß zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf \({\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) eine Abbildung g_μ so existiert, daß \begin{eqnarray}\mu (\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}:{f}_{A}(x)\ne {g}_{\mu }(x)\})=0\end{eqnarray} gilt. Die Markow-Familien stehen in einer engen Beziehung zu den normalen Markowschen Halbgruppen.