Zu jedem auf 𝔅(ℤ) definierten Wahrscheinlichkeitsmaß µ und jeder reellen Zahl λ > 0 existiert ein Poisson-Prozeß mit Parameter λ und Anfangsverteilung µ. Das Verhalten der Pfade eines Poisson-Prozesses kann durch die beiden folgenden Aussagen charakterisiert werden: An einer vorgegebenen Stelle t₀ > 0 ist der Pfad t → N_t(ω) für P-fast alle ω ∈ Ω stetig, und für P-fast alle ω ∈ Ω besitzt der Pfad t → N_t(ω) unendlich viele Unstetigkeitsstellen. Ist (X_n)_n∈ℕ eine auf (Ω, 𝔄, P) definierte Folge unabhängiger identisch mit Parameter λ exponentialverteilter Zufallsvariablen, und setzt man \({S}_{n}=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{X}_{i}\) für n ∈ ℕ sowie S₀ = 0, so liefert die Definition \begin{eqnarray}{N}_{t}=\max \{n\in {\rm{{\mathbb{N}}}}:{S}_{n}\le t\}\end{eqnarray} für alle t ≥ 0 einen normalen Poisson-Prozeß (N_t)_t≥0 mit Intensität λ. Umgekehrt erhält man aus einem normalen Poisson-Prozeß (N_t)_t≥0 mit Parameter λ durch die Definitionen \begin{eqnarray}{S}_{n}=\inf \{t\ge 0:{N}_{t}\ge n\}\end{eqnarray} für alle n ∈ ℕ₀ und X_n = S_n − S_n−1 für alle n ∈ ℕ eine derartige Folge (X_n)_n∈ℕ. In beiden Fällen können die Realisierungen der X_n als Zeitpunkte interpretiert werden, zu denen das n-te aus einer Folge von Ereignissen, etwa Emissionen radioaktiver Teilchen, eintritt, und die Realisierungen der S_n als die Zeit zwischen dem Eintreten zweier aufeinanderfolgender Ereignisse.

Bemerkenswert ist noch, daß (N_t)_t≥0 schon dann ein Poisson-Prozeß ist, wenn er die Bedingungen (i) und (ii) erfüllt, und (iii) durch die Forderung ersetzt wird, daß der Prozeß stationäre Zuwächse besitzt. Der Poisson-Prozeß ist darüber hinaus ein Beispiel für eine zeitlich homogene Markow-Kette mit stetiger Zeit.