eine Algebra mit zusätzlicher 𝔽₂-graduierter Struktur. Solch eine Struktur nennt man auch Paritätsstruktur.

Seien \(\bar{0}\) und \(\bar{1}\) die Elemente des Körpers 𝔽₂. Eine assoziative Superalgebra A ist eine assoziative Algebra über einem Körper 𝕂, für welche der zugrundegelegte Vektorraum als \(A={A}_{\bar{0}}\oplus {A}_{\bar{1}}\) zerlegt werden kann, und für den die Multiplikation 𝔽₂ -graduiert ist, d. h., es gilt \begin{eqnarray}{A}_{\bar{i}}\cdot {A}_{\bar{j}}\subseteq {A}_{\bar{i}+\bar{j}}.\end{eqnarray}

Die Elemente in \({A}_{\bar{0}}\) heißen die geraden (engl. even) Elemente, die Elemente in \({A}_{\bar{1}}\) die ungeraden (engl. odd) Elemente. Dies sind die homogenen Elemente der Superalgebra. Die Parität p ist definiert als \(p(x)=\bar{i}\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\ x\in {A}_{\bar{i}}\). In einer assoziativen Superalgebra ist der Unterraum \({A}_{\bar{0}}\) immer eine Unteralgebra.

Eine assoziative Superalgebra heißt superkommutativ (oder auch graduiert kommutativ), falls für alle homogenen Elemente a, b ∈ A gilt \begin{eqnarray}a\text{}\cdot \text{}b\text{}=\text{}{(-1)}^{p(a)p(b)}b\text{}\cdot \text{}a\text{}.\end{eqnarray}

Insbesondere kommutieren in diesem Fall die geraden und antikommutieren die ungeraden Elemente. Jede assoziative Algebra A wird durch das Setzen von \({A}_{\bar{0}}:=A\) und \({A}_{\bar{1}}:=\{0\}\) zu einer Superalgebra. Eine nichttriviale Superalgebra ist gegeben durch die alternierende Algebra Λ(V) eines endlichdimensionalen Vektorraums V. Die homogenen Unterräume sind definiert als \begin{eqnarray}{\Lambda}_{\bar{0}}(V):=\underset{k=0,k\equiv 0(2)}{\overset{n}{\oplus}}{\Lambda}^{k}(V),\\ {\Lambda}_{\bar{1}}(V):=\underset{k=0,k\equiv 1(2)}{\overset{n}{\oplus}}{\Lambda}^{k}(V).\end{eqnarray}

Das Produkt ist die Verkettung der Formen. Für dieses gilt \begin{eqnarray}\phi \wedge \psi ={(-1)}^{p(\phi)p(\psi)}\psi \wedge \phi.\end{eqnarray}

Die alternierende Algebra ist superkommutativ.

Eine Lie-Superalgebra (manchmal auch Super-Lie-Algebra genannt) ist eine nichtassoziative Algebra (L,[.,.]), für die der zugrundegelegte Vektorraum zerlegt werden kann als \(L={L}_{\bar{i}}\oplus {L}_{\bar{j}}\), und die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Algebra ist 𝔽₂-graduiert, d. h. es gilt \begin{eqnarray}[{L}_{\bar{i}},{L}_{\bar{j}}]\subseteq {L}_{\bar{i}+\bar{j}},\end{eqnarray}
2. Es gilt \begin{eqnarray}[x,y]={(-1)}^{1+p(x)p(y)}[y,x]\end{eqnarray} für die homogenen Elemente x, y ∈ L.
3. Es gilt die Super-Jacobi-Identität für homogene x, y, z ∈ L: \begin{eqnarray}\begin{array}{(-1)}^{p(x)p(z)}[x,\text{}[y,\text{}z]]+\text{}{(-1)}^{p(x)p(y)}[y,\text{}[z,\text{}x]]\\\qquad +{(-1)}^{p(y)p(z)}[z,\text{}[x,\text{}y]]=\text{}0\text{}.\end{array}\end{eqnarray}

Es ist zu beachten, daß im Falle \({L}_{\bar{1}}\ne \{0\}\) Lie-Superalgebren keine Lie-Algebren sind. Lediglich der Unterraum \({L}_{\bar{0}}\) ist eine Lie-Algebra. \({L}_{\bar{1}}\) trägt eine Darstellung von \({L}_{\bar{0}}\).

Assoziative Superalgebren und Lie-Superalgebren sind von Bedeutung in der Elementarteilchenphysik. Mit ihrer Hilfe werden die Symmetrien der elementaren Kräfte beschrieben. Speziell handelt es sich um die Supersymmetrie, die eine fundamentale Symmetrie zwischen bosonischen Teilchen (mit ganzzahligen Spin) und fermionischen Teilchen (mit halbzahligen Spin) postuliert. Manchmal wird deshalb auch \({L}_{\bar{0}}\), bzw. \({A}_{\bar{0}}\) als bosonischer Unterraum und \({L}_{\bar{1}}\), bzw. \({A}_{\bar{1}}\) als fermionischer Unterraum bezeichnet.